La somme des angles d'un triangle

En une phrase

Quels que soient sa forme et sa taille, un triangle a toujours trois angles dont les mesures, additionnées, donnent 180°. Si tu connais deux angles, tu trouves le troisième en calculant 180° − (somme des deux connus).

Comprendre

Prends n'importe quel triangle, mesure ses trois angles avec un rapporteur, additionne-les : tu trouves toujours 180°. C'est une propriété fondamentale de la géométrie du plan. Elle est très utile : dès que tu connais deux angles d'un triangle, le troisième est déterminé, tu n'as pas besoin de le mesurer, il suffit de calculer.

Par exemple, si deux angles valent 60° et 80°, leur somme est 140°, et le troisième angle vaut 180° − 140° = 40°. On vérifie : 60° + 80° + 40° = 180°. Attention à ne pas confondre : la somme fait 180° (un angle plat), pas 360°.

Cette propriété permet aussi de reconnaître des triangles particuliers. Dans un triangle rectangle, un angle vaut 90°, donc les deux autres se partagent 90° : ils sont complémentaires. Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux : chacun vaut 180° ÷ 3 = 60°.

La somme des angles est un outil de raisonnement : elle transforme une mesure manquante en un simple calcul.

Le cours

Propriété : dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°. Cette propriété est vraie pour tout triangle, quelle que soit sa forme. Elle sert principalement à calculer un angle manquant.

Méthode : si un triangle a deux angles connus de mesures a et b, alors le troisième angle mesure 180° − (a + b). Exemple : un triangle a deux angles de 60° et 80°. On additionne : 60° + 80° = 140°.

Puis on soustrait à 180° : 180° − 140° = 40°. Le troisième angle mesure 40°, et l'on vérifie bien que 60° + 80° + 40° = 180°. Cas particuliers utiles.

Triangle rectangle : un angle mesure 90°, donc les deux autres angles ont pour somme 180° − 90° = 90° (ils sont complémentaires). Triangle équilatéral : les trois angles sont égaux, chacun mesure 180° ÷ 3 = 60°. Triangle isocèle : les deux angles à la base sont égaux.

Il ne faut pas confondre cette somme (180°) avec 360°, qui est la somme des angles d'un quadrilatère. Pourquoi cette somme vaut-elle toujours 180° ? On peut le DÉMONTRER avec les angles et les droites parallèles, vus dans le chapitre « Symétrie et angles ».

Soit un triangle ABC. On trace la parallèle à (AB) passant par C. Les angles alternes-internes formés par cette parallèle et la sécante (AC) sont égaux : l'angle en A se retrouve donc en C, d'un côté. De même, les angles alternes-internes formés par la parallèle et la sécante (BC) sont égaux : l'angle en B se retrouve en C, de l'autre côté.

En C, les trois angles — celui de A reporté, celui du triangle et celui de B reporté — forment ensemble un angle PLAT, c'est-à-dire 180°. Or ce sont exactement les trois angles du triangle : leur somme vaut donc 180°. La somme des angles d'un triangle est un outil de démonstration de base, réutilisé dans tout le collège et au lycée.

Les erreurs fréquentes

On pense que la somme des angles d'un triangle vaut 360°.

La somme vaut 180° (un angle plat). 360° est la somme des angles d'un quadrilatère, pas d'un triangle.

Pour trouver le troisième angle, on additionne les deux connus au lieu de les soustraire à 180° : 60° + 80° = 140°, réponse 140°.

140° est seulement la somme des deux angles connus. Le troisième vaut 180° − 140° = 40°.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que la somme des trois angles d'un triangle est égale à 180°.
• Calculer un angle manquant à partir des deux autres : 180° − (a + b).
• Utiliser la propriété dans les cas particuliers (rectangle : deux angles complémentaires ; équilatéral : 60° chacun).

Vérifie que tu as compris

1. Dans un triangle, deux angles mesurent 55° et 75°. Combien mesure le troisième ?

   Réponse 50°

   La somme des angles d'un triangle vaut 180° : 180 − 55 − 75 = 50°. (130° est la somme des deux angles donnés, pas le troisième.)

2. Dans un triangle isocèle, l'angle au sommet mesure 40°. Combien mesure chacun des angles à la base ?

   Réponse 70°

   Les deux angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux. Il reste 180° − 40° = 140° à partager en deux parts égales : chaque angle à la base mesure 140 ÷ 2 = 70°. Vérification : 40 + 70 + 70 = 180°. Oublier le partage donne 140°, et diviser l'angle du sommet par 2 donne 20° : deux erreurs classiques.

3. Un triangle est rectangle et l'un de ses angles aigus mesure 35°. Que vaut l'autre angle aigu ?

   Réponse 55°

   L'angle droit occupe déjà 90° sur les 180° du triangle : il reste 90° à partager entre les deux angles aigus. L'autre mesure donc 90 − 35 = 55°.