L'aire d'un triangle

En une phrase

Pour trouver l'aire d'un triangle, tu choisis un côté comme base, tu prends la hauteur qui lui correspond (la perpendiculaire venant du sommet opposé), tu multiplies les deux, puis tu divises par 2. Par exemple, base 8 et hauteur 5 donnent 8 × 5 ÷ 2 = 20.

Comprendre

Un triangle, c'est exactement la moitié d'un rectangle. Si tu prends un côté comme base et que tu mesures la hauteur (la distance perpendiculaire entre cette base et le sommet opposé), le rectangle de côtés « base » et « hauteur » a pour aire base × hauteur ; le triangle en occupe pile la moitié, d'où la division par 2. La formule est donc : aire = base × hauteur ÷ 2. Exemple : un triangle de base 8 et de hauteur 5. On calcule d'abord base × hauteur = 8 × 5 = 40, puis on divise par 2 : 40 ÷ 2 = 20. L'aire vaut 20 (en unités d'aire, par exemple cm²). Le point délicat, c'est de bien associer la base et SA hauteur : la hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie et partir du sommet opposé.

On peut choisir n'importe lequel des trois côtés comme base, à condition de prendre la hauteur correspondante ; le résultat est le même. Deux pièges classiques : oublier de diviser par 2 (on obtient alors l'aire du rectangle, deux fois trop grande), et prendre comme « hauteur » un côté du triangle qui n'est pas perpendiculaire à la base. L'aire s'exprime toujours dans une unité de surface (cm², m²…), pas dans une unité de longueur.

Le cours

Formule. L'aire d'un triangle est égale au produit d'une base par la hauteur relative à cette base, divisé par 2 : aire = (base × hauteur) ÷ 2. Pourquoi diviser par 2 ? Un triangle est la moitié d'un rectangle (ou d'un parallélogramme) de mêmes base et hauteur : le rectangle a pour aire base × hauteur, le triangle en occupe la moitié.

Méthode. 1) On choisit une base (un des côtés). 2) On identifie la hauteur associée : la longueur du segment perpendiculaire à cette base, issu du sommet opposé. 3) On calcule base × hauteur, puis on divise par 2. Exemple. Triangle de base 8 cm et de hauteur 5 cm : base × hauteur = 8 × 5 = 40, puis 40 ÷ 2 = 20. L'aire vaut 20 cm². Points d'attention.

La hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie, pas un côté quelconque. On peut prendre n'importe quel côté comme base à condition d'utiliser la hauteur qui lui correspond : le résultat est identique. L'aire se mesure en unités de surface (cm², m²…).

Oublier le ÷ 2 donne l'aire du rectangle, soit le double de la bonne réponse.

Les erreurs fréquentes

On oublie de diviser par 2 : base 8 et hauteur 5 → aire = 8 × 5 = 40.

40 est l'aire du rectangle. Le triangle en est la moitié : 40 ÷ 2 = 20. Il faut toujours diviser par 2.

On prend comme « hauteur » un côté du triangle qui n'est pas perpendiculaire à la base.

La hauteur associée à une base est la longueur perpendiculaire à cette base, issue du sommet opposé — pas un côté oblique.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer la formule de l'aire d'un triangle : base × hauteur ÷ 2.
• Identifier une base et la hauteur qui lui est associée (perpendiculaire, issue du sommet opposé).
• Calculer l'aire d'un triangle, par exemple base 8 et hauteur 5 → 8 × 5 ÷ 2 = 20.

Vérifie que tu as compris

1. Un triangle a une base de 12 cm et une hauteur de 7 cm. Quelle est son aire ?

   Réponse 42 cm²

   Aire = base × hauteur ÷ 2 = 12 × 7 ÷ 2 = 84 ÷ 2 = 42 cm² (et non 84, qui oublie le ÷ 2 ; 19 serait la somme 12 + 7).

2. Deux triangles ont la même base de 8 cm. Le premier a une hauteur de 5 cm, le second de 10 cm. Que peut-on dire de leurs aires ?

   Réponse l'aire du second est le double de celle du premier

   Aire d'un triangle = (base × hauteur) ÷ 2. À base égale : premier = (8 × 5) ÷ 2 = 20 cm², second = (8 × 10) ÷ 2 = 40 cm². Doubler la hauteur double donc l'aire (40 = 2 × 20). Ce n'est pas ×4 : il faudrait doubler AUSSI la base. L'écart réel vaut ici 20 cm², pas 10 cm².

3. L'aire d'un triangle vaut 24 cm². Sa base mesure 6 cm. Combien mesure la hauteur associée à cette base ?

   Réponse 8 cm

   On remonte la formule : base × hauteur = 2 × aire = 48, donc hauteur = 48 ÷ 6 = 8 cm. Vérification : 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm².