Inégalité triangulaire & construction

En une phrase

Pour que trois longueurs forment un triangle, il faut que la plus grande soit plus petite que la somme des deux autres. Si c'est le cas, tu traces le plus grand côté, puis avec le compas tu reportes les deux autres longueurs depuis chaque extrémité : les deux arcs se croisent au troisième sommet.

Comprendre

Imagine que tu veuilles fabriquer un triangle avec trois baguettes. Si deux baguettes, mises bout à bout, sont trop courtes pour rejoindre les extrémités de la troisième, elles ne se toucheront jamais : pas de triangle. C'est l'inégalité triangulaire : le plus grand côté doit être plus petit que la somme des deux autres.

Exemple qui marche : 3, 4 et 6. On vérifie sur le plus grand côté : 3 + 4 = 7, et 7 > 6, donc le triangle existe. Exemple qui ne marche pas : 2, 3 et 6, car 2 + 3 = 5, et 5 < 6 : les deux petits côtés sont trop courts, ils ne se rejoignent pas. Cas limite : si la somme est exactement égale (par exemple 2, 4 et 6 : 2 + 4 = 6), les trois points sont alignés, le triangle est « aplati », on ne le compte pas comme un vrai triangle.

Pour construire un triangle possible, on procède au compas : on trace d'abord un segment de la longueur du plus grand côté ; depuis une extrémité on trace un arc de cercle de rayon égal à un autre côté, depuis l'autre extrémité un arc de rayon égal au dernier côté ; le point où les deux arcs se croisent est le troisième sommet. Il suffit de le relier aux deux extrémités.

Le cours

Inégalité triangulaire : trois longueurs peuvent former un triangle si, et seulement si, la plus grande est plus petite que la somme des deux autres. En pratique, il suffit de tester le plus grand côté. Exemple : les longueurs 3, 4, 6 donnent un triangle car 3 + 4 = 7 > 6. Les longueurs 2, 3, 6 ne donnent pas de triangle car 2 + 3 = 5 < 6 : les deux petits côtés n'atteignent pas les extrémités du grand.

Cas d'égalité : si la somme des deux petits côtés est exactement égale au grand (ex. 2 + 4 = 6), les trois sommets sont alignés et le triangle est aplati (non valable). Construction à la règle et au compas (quand c'est possible). 1) On trace un segment [AB] égal au plus grand côté. 2) On ouvre le compas de la longueur d'un deuxième côté et, pointe en A, on trace un arc de cercle. 3) On ouvre le compas de la longueur du troisième côté et, pointe en B, on trace un second arc. 4) Les deux arcs se coupent en un point C : c'est le troisième sommet. On relie C à A et à B. Les arcs matérialisent « tous les points à telle distance de A » et « tous les points à telle distance de B » : leur intersection donne le sommet cherché.

On sait aussi construire un triangle à partir de DONNÉES PARTIELLES, c'est-à-dire sans connaître les trois longueurs. Premier cas : deux côtés et l'angle COMPRIS entre eux — on trace le premier côté, on reporte l'angle à l'une de ses extrémités au rapporteur, puis on reporte la longueur du second côté sur la demi-droite obtenue ; il ne reste qu'à fermer le triangle. Second cas : un côté et les deux angles qui lui sont ADJACENTS — on trace le côté, on reporte un angle à chaque extrémité, et les deux demi-droites se coupent au troisième sommet.

Dans les deux cas la figure est entièrement déterminée : deux élèves qui suivent le même programme de construction obtiennent des triangles superposables.

Les erreurs fréquentes

On additionne les trois côtés pour tester l'existence du triangle.

On compare le plus grand côté à la somme des DEUX autres seulement : le triangle existe si plus grand côté < somme des deux autres.

On croit que 2, 3, 6 forme un triangle parce que les trois nombres sont différents.

Il faut vérifier l'inégalité : 2 + 3 = 5 < 6, donc les deux petits côtés sont trop courts et le triangle est impossible.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer l'inégalité triangulaire : le plus grand côté est plus petit que la somme des deux autres.
• Déterminer si trois longueurs données forment un triangle (ex. 3, 4, 6 oui ; 2, 3, 6 non).
• Construire un triangle possible à la règle et au compas en reportant les longueurs par des arcs.

Vérifie que tu as compris

1. Peut-on construire un triangle de côtés 5 cm, 7 cm et 9 cm ?

   Réponse Oui, car 5 + 7 > 9

   Le plus grand côté (9) doit être plus petit que la somme des deux autres : 5 + 7 = 12 > 9, donc le triangle existe. « 9 > 7 » est vrai mais ne prouve rien, et 5 + 7 ne vaut pas 9.

2. Peut-on construire un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 9 cm ?

   Réponse Non, car 3 + 4 < 9

   3 + 4 = 7, or 7 < 9 : les deux petits côtés sont trop courts pour rejoindre les extrémités du plus grand. Le triangle est impossible. Le produit 3 × 4 n'a rien à voir avec l'inégalité triangulaire, et 3 + 4 ne vaut pas 9.

3. Deux petits côtés de 2 cm et 4 cm doivent rejoindre les extrémités d'un côté de 6 cm. Que se passe-t-il ?

   Réponse les trois points sont alignés

   2 + 4 = 6 exactement : les deux petits côtés se rejoignent pile sur le grand, sans le moindre écart. Les trois points sont alignés et le triangle est aplati, donc ce n'est pas un vrai triangle.