Médiatrices & cercle circonscrit

L'essentiel

La médiatrice d'un segment [AB] est la droite qui coupe [AB] en son milieu, à angle droit. Tous ses points sont à égale distance de A et de B. Dans un triangle, les trois médiatrices se croisent en un seul point : ce point est à la même distance des trois sommets, c'est le centre du cercle qui passe par les trois sommets, appelé cercle circonscrit.

Comprendre

Commence par un seul segment [AB]. Sa médiatrice est la droite qui le coupe en son milieu en formant un angle droit. Elle a une propriété remarquable : n'importe quel point de la médiatrice est à la même distance de A que de B. C'est la « ligne de l'équilibre » entre A et B. Prends maintenant un triangle ABC.

Il a trois côtés, donc trois médiatrices. Point étonnant : ces trois droites ne se croisent pas n'importe comment, elles passent toutes par un même point, qu'on appelle O. Pourquoi ? Un point de la médiatrice de [AB] est à égale distance de A et B ; un point de la médiatrice de [AC] est à égale distance de A et C. Le point O, qui est sur les deux, vérifie donc OA = OB et OA = OC, donc OA = OB = OC : il est à la même distance des trois sommets.

Comme O est à la même distance des trois sommets, on peut tracer un cercle de centre O qui passe exactement par A, B et C : c'est le cercle circonscrit au triangle, et O en est le centre. Cette distance commune OA = OB = OC est le rayon du cercle. Pour trouver le centre du cercle circonscrit, il suffit donc de tracer deux médiatrices : leur intersection est O.

Le cours

Médiatrice d'un segment. La médiatrice d'un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu. Propriété caractéristique : un point appartient à la médiatrice de [AB] si, et seulement si, il est équidistant de A et de B (à la même distance de A et de B).

Construction au compas : pointe en A puis en B avec un même écartement (supérieur à la moitié de AB), on trace deux paires d'arcs qui se croisent en deux points ; la droite reliant ces deux points est la médiatrice. Médiatrices d'un triangle et cercle circonscrit. Un triangle ABC possède trois côtés, donc trois médiatrices.

Propriété : les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes, c'est-à-dire qu'elles passent par un même point O. Ce point O est équidistant des trois sommets : OA = OB = OC. On peut donc tracer un cercle de centre O et de rayon OA : il passe par les trois sommets A, B et C. Ce cercle est le cercle circonscrit au triangle, et O est son centre. Pour le construire, il suffit de tracer deux médiatrices (la troisième passe automatiquement par leur intersection), de placer O, puis de tracer le cercle de centre O passant par un sommet.

Les erreurs fréquentes

On confond la médiatrice avec la médiane : on trace la droite du milieu du côté au sommet opposé.

La médiatrice est perpendiculaire au côté en son milieu (elle ne passe pas forcément par un sommet). La médiane relie un milieu à un sommet : ce n'est pas la même droite.

On pense que le centre du cercle circonscrit est toujours à l'intérieur du triangle, ou au « centre » visuel.

Le centre O est l'intersection des médiatrices : il peut être à l'intérieur, sur un côté ou à l'extérieur selon le triangle. Ce qui compte, c'est OA = OB = OC.

Tu maîtrises la notion si…

• Définir la médiatrice d'un segment (perpendiculaire au milieu) et sa propriété d'équidistance.
• Énoncer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point O.
• Reconnaître que O, tel que OA = OB = OC, est le centre du cercle circonscrit passant par les trois sommets.

Vérifie que tu as compris

1. Le point de concours des trois médiatrices d'un triangle est le centre du…

   Réponse cercle circonscrit

   Les trois médiatrices se coupent en un même point, équidistant des trois sommets : c'est le centre du cercle circonscrit, qui passe par A, B et C.

2. O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Que peut-on dire de OA, OB et OC ?

   Réponse OA = OB = OC

   O est équidistant des trois sommets : OA, OB et OC sont tous égaux au rayon du cercle circonscrit.

3. Vrai ou faux : la médiatrice d'un côté [AB] d'un triangle ABC passe toujours par le sommet C.

   Réponse Faux : elle passe par le milieu de [AB] et lui est perpendiculaire, sans lien avec C

   La médiatrice de [AB] ne dépend que du segment [AB] : elle coupe [AB] en son milieu et lui est perpendiculaire. Elle ne passe par C que dans le cas particulier où le triangle est isocèle en C. La droite qui joint C au milieu de [AB] s'appelle, elle, la médiane issue de C.