Les hauteurs d'un triangle

En une phrase

Une hauteur part d'un sommet et « tombe » perpendiculairement sur le côté d'en face (le côté opposé). Un triangle a trois sommets, donc trois hauteurs, et elles se croisent toutes en un même point.

Comprendre

Choisis un sommet d'un triangle, par exemple A. Le côté opposé est celui qui ne touche pas A : c'est [BC]. La hauteur issue de A est la droite qui part de A et arrive perpendiculairement sur [BC] : elle forme un angle droit avec ce côté. Le point où elle touche le côté s'appelle le pied de la hauteur ; on appelle aussi hauteur la LONGUEUR du segment entre le sommet et son pied — c'est elle qui sert dans la formule de l'aire.

On la reconnaît au petit carré qui marque l'angle droit. Comme un triangle a trois sommets, il a trois hauteurs : celle issue de A (perpendiculaire à [BC]), celle issue de B (perpendiculaire à [AC]) et celle issue de C (perpendiculaire à [AB]). Propriété remarquable : ces trois hauteurs ne se dispersent pas, elles passent toutes par un même point.

On dit qu'elles sont concourantes. Attention à ne pas confondre la hauteur avec la médiatrice : la médiatrice est perpendiculaire à un côté mais passe par son milieu, alors que la hauteur est perpendiculaire à un côté mais part d'un sommet — elle ne passe pas forcément par le milieu. Ce qui définit la hauteur, c'est le couple « sommet de départ + perpendiculaire au côté opposé ».

La hauteur est aussi la longueur qui sert à calculer l'aire du triangle.

Le cours

Définition. Une hauteur d'un triangle est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé (ou à son support). Le point d'intersection de la hauteur avec le côté opposé est appelé le pied de la hauteur ; l'angle droit y est marqué par un petit carré.

Trois hauteurs. Un triangle a trois sommets, donc trois hauteurs : la hauteur issue de A est perpendiculaire à [BC], celle issue de B est perpendiculaire à [AC], celle issue de C est perpendiculaire à [AB]. Propriété : les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes, c'est-à-dire qu'elles passent par un même point.

Ne pas confondre. La hauteur (sommet + perpendiculaire au côté opposé) est différente de la médiatrice (perpendiculaire au milieu d'un côté) et de la médiane (sommet + milieu du côté opposé). Une hauteur est perpendiculaire au côté opposé mais ne passe pas, en général, par son milieu.

Usage. La hauteur relative à une base sert à calculer l'aire du triangle (aire = base × hauteur ÷ 2), qui est étudiée juste après.

Les erreurs fréquentes

On confond hauteur et médiatrice : on trace la perpendiculaire au milieu du côté au lieu de partir du sommet.

La hauteur part d'un SOMMET et tombe perpendiculairement sur le côté opposé ; elle ne passe pas forcément par le milieu de ce côté.

On trace la hauteur perpendiculaire à un côté qui touche le sommet, au lieu du côté opposé.

La hauteur issue d'un sommet est perpendiculaire au côté OPPOSÉ (celui qui ne touche pas ce sommet).

Tu maîtrises la notion si…

• Définir une hauteur : droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
• Tracer une hauteur en marquant l'angle droit à son pied sur le côté opposé.
• Énoncer que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.

Vérifie que tu as compris

1. Dans un triangle ABC, la hauteur issue de B est la droite qui passe par B et qui…

   Réponse est perpendiculaire à (AC)

   La hauteur issue de B part de B et tombe perpendiculairement sur le côté OPPOSÉ à B, c'est-à-dire [AC] (ou sa droite support). Être perpendiculaire à (AB) n'a pas de sens ici, puisque B est sur (AB) ; passer par le milieu de [AC] serait la médiane ; couper l'angle en deux serait la bissectrice.

2. Combien de hauteurs un triangle possède-t-il, et que forment-elles ?

   Réponse 3 hauteurs concourantes en un point

   Chaque sommet donne une hauteur, soit 3 hauteurs, et elles se coupent toutes en un même point.

3. Dans le triangle ABC, la hauteur issue de A est perpendiculaire à quel côté ?

   Réponse [BC]

   La hauteur issue d'un sommet vise le côté opposé, celui qui ne contient pas ce sommet : depuis A, c'est [BC]. La droite qui coupe [BC] en son milieu perpendiculairement, elle, s'appelle la médiatrice de [BC] : elle ne part d'aucun sommet.