La double distributivité — 3ᵉ

En une phrase

Quand tu multiplies deux parenthèses comme (x + 3)(x + 2), tu multiplies chaque terme de la première par chaque terme de la seconde. Cela fait quatre produits, que tu additionnes : (x + 3)(x + 2) = x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6.

Comprendre

Développer un produit de deux sommes ne se fait pas terme à terme : il faut multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde. C'est la double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. On obtient TOUJOURS quatre produits.

Une image très parlante est le modèle d'aire : un rectangle de longueur (a + b) et de largeur (c + d) se découpe en quatre morceaux dont les aires sont ac, ad, bc et bd ; l'aire totale du rectangle est la somme de ces quatre aires. Par exemple, développons (x + 3)(x + 2). Le premier terme x multiplie x puis 2, ce qui donne x² et 2x ; le second terme 3 multiplie x puis 2, ce qui donne 3x et 6. On écrit donc (x + 3)(x + 2) = x² + 2x + 3x + 6. Il reste à réduire les termes semblables : 2x et 3x s'additionnent en 5x.

Le résultat final est x² + 5x + 6. L'erreur la plus fréquente est d'oublier un des quatre produits, en particulier l'un des deux produits croisés du milieu (ici 2x et 3x) ; une autre erreur est de croire que (x + 3)(x + 2) donnerait x² + 6. Pour éviter cela, on garde toujours en tête qu'un produit de deux sommes de deux termes engendre quatre produits, avant réduction.

Le cours

La distributivité simple, k(a + b) = ka + kb, permet de développer un produit où un seul facteur est devant une parenthèse. Lorsqu'on multiplie deux sommes entre elles, on applique la double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. La règle est que chacun des deux termes de la première parenthèse est multiplié par chacun des deux termes de la seconde, ce qui produit quatre produits que l'on additionne.

On peut visualiser ce développement avec un modèle d'aire : un rectangle de côtés (a + b) et (c + d), découpé par une ligne verticale et une ligne horizontale en quatre petits rectangles d'aires ac, ad, bc et bd. L'aire totale, qui vaut (a + b)(c + d), est bien égale à la somme des quatre aires. Prenons l'exemple (x + 3)(x + 2).

On multiplie x par x et par 2, ce qui donne x² et 2x ; puis 3 par x et par 2, ce qui donne 3x et 6. On obtient donc (x + 3)(x + 2) = x² + 2x + 3x + 6. On termine en réduisant les termes semblables, c'est-à-dire en regroupant les termes en x : 2x + 3x = 5x. Le développement réduit est (x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6. La réduction des deux produits croisés du milieu est l'étape la plus surveillée : il ne faut jamais oublier les deux produits « croisés » ad et bc. Pour contrôler un développement, on peut vérifier avec des valeurs numériques : en remplaçant x par 1, (1 + 3)(1 + 2) = 4 × 3 = 12 et 1 + 5 + 6 = 12, ce qui confirme le calcul.

La double distributivité prépare directement les identités remarquables, qui sont des cas particuliers de ce développement.

Les erreurs fréquentes

Multiplier « terme à terme » et n'écrire que deux produits : (x + 3)(x + 2) = x² + 6, en oubliant les deux produits croisés.

Un produit de deux sommes donne QUATRE produits : (x + 3)(x + 2) = x² + 2x + 3x + 6. Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde ; on n'oublie jamais les deux produits croisés 2x + 3x = 5x, d'où x² + 5x + 6.

Oublier de réduire les termes semblables et laisser x² + 2x + 3x + 6 comme réponse finale.

Le développement n'est terminé qu'après réduction : on regroupe les termes en x, 2x + 3x = 5x, donc (x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer et appliquer la double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
• Développer un produit de deux sommes en écrivant les quatre produits sans en oublier aucun.
• Réduire le résultat en regroupant les termes en x, par exemple (x + 3)(x + 2) = x² + 5x + 6.

Vérifie que tu as compris

1. Le développement réduit de (2x − 1)(x + 3) est :

   Réponse 2x² + 5x − 3

   Double distributivité : (2x − 1)(x + 3) = 2x × x + 2x × 3 + (−1) × x + (−1) × 3 = 2x² + 6x − x − 3. On réduit les produits croisés : 6x − x = 5x, d'où 2x² + 5x − 3. Oublier les termes croisés donnerait 2x² − 3, ajouter x au lieu de le retrancher donnerait 7x, et (−1) × 3 vaut −3, pas +3.

2. Le développement réduit de (x + 6)(x − 4) est :

   Réponse x² + 2x − 24

   (x + 6)(x − 4) = x² − 4x + 6x − 24 ; les produits croisés valent −4x + 6x = 2x, donc x² + 2x − 24.

3. Un rectangle a pour dimensions 2x + 1 et x + 5. Développée et réduite, son aire s'écrit :

   Réponse 2x² + 11x + 5

   L'aire est le produit (2x + 1)(x + 5). La double distributivité donne quatre produits : 2x × x = 2x², 2x × 5 = 10x, 1 × x = x et 1 × 5 = 5. On réduit les produits croisés 10x + x = 11x, d'où 2x² + 11x + 5. Vérification pour x = 1 : le rectangle mesure 3 sur 6, son aire vaut 18, et 2 + 11 + 5 = 18. L'option 3x + 6 est le DEMI-PÉRIMÈTRE (2x + 1) + (x + 5), pas une aire.