Factoriser avec une identité remarquable

En une phrase

Les identités remarquables servent aussi à factoriser. Si tu vois une différence de deux carrés, tu écris a² − b² = (a + b)(a − b) : par exemple x² − 25 = (x + 5)(x − 5). Si tu reconnais un carré parfait, tu écris a² + 2ab + b² = (a + b)² : par exemple x² + 6x + 9 = (x + 3)².

Comprendre

Les trois identités remarquables se lisent dans les deux sens. Utilisées de droite à gauche, elles permettent de factoriser, c'est-à-dire de transformer une somme ou une différence en produit. Le cas le plus reconnaissable est la différence de deux carrés : a² − b² = (a + b)(a − b).

Il faut voir l'expression comme « un carré moins un carré ». Par exemple x² − 25 : on remarque que 25 = 5², donc x² − 25 = x² − 5² = (x + 5)(x − 5). Le deuxième cas est le trinôme carré parfait, un trinôme qui est le développement de (a + b)² ou (a − b)².

Par exemple x² + 6x + 9 : on reconnaît x² = x², 9 = 3² et le terme du milieu 6x = 2 × x × 3, qui est bien le double produit. C'est donc le carré parfait (x + 3)², et x² + 6x + 9 = (x + 3)². L'erreur la plus fréquente est de ne pas reconnaître ces formes : on ne voit pas que 25 est un carré, ou l'on ne vérifie pas que le terme central est bien le double produit.

Une bonne habitude est de se demander, devant une différence, si les deux termes sont des carrés, et, devant un trinôme, si les termes extrêmes sont des carrés et si le terme du milieu est leur double produit. Pour contrôler, on redéveloppe : (x + 5)(x − 5) = x² − 25 et (x + 3)² = x² + 6x + 9, ce qui confirme les factorisations.

Le cours

Factoriser avec une identité remarquable consiste à utiliser les identités de droite à gauche pour écrire une expression sous forme de produit. Première situation, la différence de deux carrés : a² − b² = (a + b)(a − b). On l'emploie chaque fois qu'une expression se présente comme un carré moins un carré.

Par exemple x² − 25 : comme 25 = 5², on a x² − 25 = x² − 5² = (x + 5)(x − 5). De même 49 − x² = 7² − x² = (7 + x)(7 − x). Deuxième situation, le trinôme carré parfait : a² + 2ab + b² = (a + b)² et a² − 2ab + b² = (a − b)².

On reconnaît un trinôme carré parfait à trois indices : le premier terme est un carré, le dernier terme est un carré, et le terme du milieu est le double produit des racines. Par exemple x² + 6x + 9 : x² est le carré de x, 9 est le carré de 3, et 6x = 2 × x × 3 est bien le double produit ; donc x² + 6x + 9 = (x + 3)². De même x² − 8x + 16 = (x − 4)², car 16 = 4² et 8x = 2 × x × 4. La difficulté est de reconnaître ces formes : il faut identifier les carrés (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49… et x², 4x²…) et vérifier le double produit avant de conclure à un carré parfait.

Toute factorisation se contrôle en redéveloppant : (x + 5)(x − 5) redonne x² − 25, et (x + 3)² redonne x² + 6x + 9. Factoriser à l'aide d'une identité est très utile pour simplifier des expressions et pour résoudre des équations en se ramenant à un produit égal à zéro.

Les erreurs fréquentes

Ne pas reconnaître une différence de deux carrés : laisser x² − 25 non factorisé parce qu'on ne voit pas que 25 = 5².

On repère les carrés : x² − 25 = x² − 5². C'est la forme a² − b², donc x² − 25 = (x + 5)(x − 5).

Confondre un trinôme quelconque avec un carré parfait, ou oublier de vérifier le double produit, par exemple écrire x² + 5x + 9 = (x + 3)².

Un carré parfait exige que le terme du milieu soit le double produit : pour (x + 3)² il faut 2 × x × 3 = 6x, donc x² + 6x + 9 = (x + 3)². L'expression x² + 5x + 9 n'est pas un carré parfait.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître une différence de deux carrés et la factoriser : a² − b² = (a + b)(a − b).
• Reconnaître un carré parfait en vérifiant les carrés et le double produit, puis factoriser en (a ± b)².
• Contrôler une factorisation en redéveloppant le produit obtenu.

Vérifie que tu as compris

1. La factorisation de x² − 25 est :

   Réponse (x + 5)(x − 5)

   Différence de deux carrés : 25 = 5², donc x² − 25 = x² − 5² = (x + 5)(x − 5).

2. La factorisation de x² + 6x + 9 est :

   Réponse (x + 3)²

   Carré parfait : x² et 9 = 3² sont des carrés, et 6x = 2×x×3 est le double produit, donc x² + 6x + 9 = (x + 3)².

3. 9x² − 16 se factorise en :

   Réponse (3x + 4)(3x − 4)

   On repère deux carrés : 9x² = (3x)² et 16 = 4². C'est la forme a² − b², donc 9x² − 16 = (3x + 4)(3x − 4). Il faut prendre la RACINE de chaque carré : (9x + 16)(9x − 16) vaudrait 81x² − 256, et 9(x² − 16) vaudrait 9x² − 144. Quant à (3x − 4)², il contiendrait un terme en x.