Factoriser avec un facteur commun — 3ᵉ

En une phrase

Quand tous les termes d'une somme contiennent le même facteur, tu peux le sortir devant une parenthèse : 6x² + 9x = 3x(2x + 3). Ici le facteur commun est 3x. Factoriser, c'est passer d'une somme à un produit.

Comprendre

Factoriser une somme, c'est l'écrire sous forme de produit. La méthode la plus courante consiste à repérer un facteur commun à tous les termes et à le mettre en évidence devant une parenthèse : ka + kb = k(a + b). Le facteur commun peut être un nombre, une lettre, ou les deux à la fois.

Prenons 6x² + 9x. On décompose chaque terme pour faire apparaître ce qu'ils partagent : 6x² = 3x × 2x et 9x = 3x × 3. Les deux termes contiennent le facteur 3x. On le met donc en facteur : 6x² + 9x = 3x(2x + 3).

Dans la parenthèse, on écrit ce qui reste après avoir retiré 3x de chaque terme. Le point délicat est de prendre le facteur commun COMPLET. Si l'on ne sortait que le 3, on écrirait 6x² + 9x = 3(2x² + 3x), ce qui est vrai mais pas terminé, car 2x² + 3x contient encore le facteur x.

En sortant 3x d'un coup, on obtient la factorisation aboutie. Pour vérifier une factorisation, on redéveloppe : 3x(2x + 3) = 3x × 2x + 3x × 3 = 6x² + 9x, on retrouve bien la somme de départ. Factoriser et développer sont deux transformations inverses, et redévelopper reste le moyen de contrôle le plus sûr.

Le cours

Factoriser une expression, c'est la transformer d'une somme (des termes additionnés) en un produit (des facteurs multipliés). La technique de base est la mise en évidence d'un facteur commun : si un même facteur k apparaît dans tous les termes, alors ka + kb = k(a + b). Pour factoriser, on procède en trois temps : repérer le facteur commun à tous les termes, l'écrire devant une parenthèse, puis inscrire dans la parenthèse ce qui reste de chaque terme.

Le facteur commun peut être numérique, littéral, ou mixte. Exemple : 6x² + 9x. On observe que 6x² = 3x × 2x et 9x = 3x × 3 ; le facteur commun est 3x.

On factorise donc 6x² + 9x = 3x(2x + 3). Il est essentiel de mettre en évidence le facteur commun le plus complet possible. Écrire 6x² + 9x = 3(2x² + 3x) n'est pas faux, mais la factorisation n'est pas terminée : dans 2x² + 3x, le facteur x est encore commun.

La factorisation aboutie sort d'emblée 3x. À l'inverse, il ne faut pas sortir plus que ce que les termes partagent : le facteur commun de 6x² et 9x est 3x, pas 3x². Pour contrôler, on redéveloppe le produit obtenu : 3x(2x + 3) = 3x × 2x + 3x × 3 = 6x² + 9x, ce qui redonne l'expression initiale.

Factoriser est l'opération inverse de développer ; on factorise notamment pour simplifier une expression ou pour résoudre certaines équations en repérant un produit nul.

Les erreurs fréquentes

Ne sortir qu'une partie du facteur commun : 6x² + 9x = 3(2x² + 3x), en gardant le x à l'intérieur.

Le facteur commun doit être COMPLET : 6x² et 9x partagent 3x (car 6x² = 3x × 2x et 9x = 3x × 3). La factorisation aboutie est 6x² + 9x = 3x(2x + 3).

Oublier un terme dans la parenthèse, par exemple 6x² + 9x = 3x(2x), en ne divisant qu'un seul terme par le facteur.

Chaque terme de la somme doit être divisé par le facteur commun : 6x² ÷ 3x = 2x et 9x ÷ 3x = 3, donc 6x² + 9x = 3x(2x + 3). On vérifie en redéveloppant.

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer le facteur commun (nombre, lettre ou les deux) présent dans tous les termes d'une somme.
• Mettre le facteur commun complet en évidence : ka + kb = k(a + b), par exemple 6x² + 9x = 3x(2x + 3).
• Vérifier une factorisation en redéveloppant le produit obtenu.

Vérifie que tu as compris

1. La factorisation de 7x + 7 est :

   Réponse 7(x + 1)

   On met le facteur commun 7 en évidence : 7x + 7 = 7×x + 7×1 = 7(x + 1).

2. La factorisation de x² + 3x est :

   Réponse x(x + 3)

   Le facteur commun est x : x² + 3x = x×x + 3×x = x(x + 3).

3. La factorisation complète de 6x² + 9x est :

   Réponse 3x(2x + 3)

   Le facteur commun complet est 3x, car 6x² = 3x×2x et 9x = 3x×3 : 6x² + 9x = 3x(2x + 3). Sortir seulement 3 ne termine pas la factorisation.