Développer et factoriser

En une phrase

Développer, c'est passer d'un produit à une somme en distribuant : 5(x + 3) = 5x + 15. Factoriser, c'est le chemin inverse : repérer un facteur commun et le mettre devant : 5x + 15 = 5(x + 3). L'un défait ce que l'autre fait.

Comprendre

Une même expression peut s'écrire de deux façons : sous forme de produit (une multiplication de facteurs) ou sous forme de somme (une addition de termes). Passer de l'une à l'autre se fait grâce à la distributivité. DÉVELOPPER, c'est partir d'un produit et arriver à une somme : on distribue le facteur de devant à chaque terme de la parenthèse.

La règle simple est k(a + b) = ka + kb. Par exemple 5(x + 3) = 5 × x + 5 × 3 = 5x + 15. Quand il y a deux parenthèses, on utilise la double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd ; chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. FACTORISER, c'est l'opération inverse : partir d'une somme et arriver à un produit, en repérant un facteur commun à tous les termes et en le mettant en évidence devant une parenthèse.

Par exemple 5x + 15 : le facteur commun est 5 (car 5x = 5 × x et 15 = 5 × 3), donc 5x + 15 = 5(x + 3). Une autre façon de factoriser utilise une identité remarquable, la différence de deux carrés : a² − b² = (a + b)(a − b). Le moyen de contrôle est imparable : pour vérifier une factorisation, il suffit de redévelopper et de retrouver la somme de départ.

Développer et factoriser sont donc deux chemins inverses sur la même expression.

Le cours

Une expression littérale peut prendre la forme d'un produit (des facteurs multipliés) ou d'une somme (des termes additionnés). Développer et factoriser permettent de passer d'une forme à l'autre, et ce sont deux transformations inverses. Développer signifie transformer un produit en somme à l'aide de la distributivité de la multiplication sur l'addition : k(a + b) = ka + kb.

Le facteur k est distribué à chaque terme entre parenthèses. Exemple : 3(2x + 5) = 3 × 2x + 3 × 5 = 6x + 15. Lorsqu'on multiplie deux sommes, on applique la double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd ; chacun des deux termes de la première parenthèse est multiplié par chacun des deux termes de la seconde, ce qui donne quatre produits. Factoriser, c'est l'opération inverse : transformer une somme en produit en mettant en évidence un facteur commun à tous les termes.

On cherche le facteur présent dans chaque terme, on le place devant une parenthèse, et on écrit dans la parenthèse ce qui reste. Exemple : 5x + 15 = 5 × x + 5 × 3 = 5(x + 3). On peut aussi factoriser à l'aide d'une identité remarquable, en particulier la différence de deux carrés : a² − b² = (a + b)(a − b) ; par exemple x² − 9 = x² − 3² = (x + 3)(x − 3).

Pour vérifier qu'une factorisation est correcte, on redéveloppe le produit obtenu : on doit retrouver exactement la somme de départ. Développer et factoriser sont ainsi deux opérations réciproques l'une de l'autre, qu'on choisit selon le but : développer pour calculer ou réduire, factoriser pour simplifier ou résoudre une équation.

Les erreurs fréquentes

En développant k(a + b), ne multiplier que le premier terme et écrire k(a + b) = ka + b (oublier de distribuer à b).

Le facteur k doit être distribué à TOUS les termes de la parenthèse : k(a + b) = ka + kb. Par exemple 5(x + 3) = 5x + 15, et non 5x + 3.

Confondre développer et factoriser, et croire que factoriser 5x + 15 donne une somme comme 5x + 15 = 5 + x + 3.

Factoriser, c'est obtenir un PRODUIT, pas une somme : 5x + 15 = 5(x + 3). On met le facteur commun 5 devant une parenthèse. Pour vérifier, on redéveloppe : 5(x + 3) = 5x + 15.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire et appliquer le développement d'un produit avec la distributivité : k(a + b) = ka + kb.
• Factoriser une somme en mettant un facteur commun en évidence : par exemple 5x + 15 = 5(x + 3).
• Relier développer et factoriser comme deux transformations inverses, et vérifier une factorisation en redéveloppant.

Vérifie que tu as compris

1. Le développement de 5(x + 3) est :

   Réponse 5x + 15

   Distributivité : 5(x + 3) = 5×x + 5×3 = 5x + 15.

2. Après développement et réduction, que vaut 7x − 2(x − 4) ?

   Réponse 5x + 8

   Le facteur −2 se distribue sur les DEUX termes : −2 × x = −2x et −2 × (−4) = +8. On obtient 7x − 2x + 8, puis on réduit : 5x + 8. Le piège est le signe du second produit (deux facteurs négatifs donnent un produit positif) ; oublier de multiplier le 4 par 2 donnerait 5x + 4. Vérification pour x = 1 : 7 − 2 × (−3) = 13 et 5 + 8 = 13.