Les identités remarquables

En une phrase

Ce sont trois formules à connaître par cœur pour développer plus vite. Le carré d'une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b². Le carré d'une différence : (a − b)² = a² − 2ab + b². La somme fois la différence : (a + b)(a − b) = a² − b². Par exemple (x + 5)² = x² + 10x + 25.

Comprendre

Les identités remarquables sont trois développements particuliers que l'on rencontre si souvent qu'on les apprend par cœur au lieu de refaire la double distributivité. La première est le carré d'une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b². Le terme du milieu, 2ab, est le « double produit » ; c'est lui que l'on oublie le plus souvent.

Par exemple (x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 5² = x² + 10x + 25. La deuxième est le carré d'une différence : (a − b)² = a² − 2ab + b² ; ici le double produit est négatif. Par exemple (x − 4)² = x² − 2 × x × 4 + 4² = x² − 8x + 16. La troisième est le produit d'une somme par la différence des mêmes termes : (a + b)(a − b) = a² − b² ; les deux produits croisés se compensent, il ne reste qu'une différence de deux carrés. Par exemple (x + 3)(x − 3) = x² − 3² = x² − 9. L'erreur classique est d'écrire (a + b)² = a² + b², en oubliant le double produit 2ab : c'est faux, car (a + b)² = (a + b)(a + b) contient aussi les deux produits croisés ab + ab = 2ab.

Une vérification numérique le montre : (2 + 3)² = 5² = 25, alors que 2² + 3² = 4 + 9 = 13 seulement ; il manque bien 2 × 2 × 3 = 12. Chaque identité est un cas particulier de la double distributivité, mais la reconnaître d'un coup d'œil fait gagner beaucoup de temps.

Le cours

Les identités remarquables sont trois égalités toujours vraies qui donnent directement le développement de certains produits. Elles se démontrent avec la double distributivité, mais on les mémorise pour aller plus vite. Première identité, le carré d'une somme : (a + b)² = a² + 2ab + b².

En effet (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². Le terme central 2ab s'appelle le double produit. Exemple : (x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 5² = x² + 10x + 25. Deuxième identité, le carré d'une différence : (a − b)² = a² − 2ab + b².

Le double produit est cette fois négatif. Exemple : (x − 4)² = x² − 2 × x × 4 + 4² = x² − 8x + 16. Troisième identité, le produit d'une somme par une différence : (a + b)(a − b) = a² − b². Les termes croisés s'annulent (+ ab − ab = 0), il ne reste que la différence des deux carrés.

Exemple : (x + 3)(x − 3) = x² − 3² = x² − 9. L'erreur la plus répandue est d'oublier le double produit et d'écrire (a + b)² = a² + b². C'est faux : il manque 2ab. On peut le vérifier avec des nombres, par exemple (2 + 3)² = 25 tandis que 2² + 3² = 13. Pour appliquer une identité, on repère d'abord la forme du produit (un carré de somme, un carré de différence, ou une somme par la différence), on identifie a et b, puis on remplace dans la formule.

Ces identités servent aussi dans l'autre sens, pour factoriser : c'est l'objet du concept suivant.

Les erreurs fréquentes

Écrire (a + b)² = a² + b², par exemple (x + 5)² = x² + 25, en oubliant le double produit 2ab.

(a + b)² = a² + 2ab + b² : il y a un terme central 2ab. Donc (x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 25 = x² + 10x + 25, et non x² + 25.

Oublier le signe du double produit dans le carré d'une différence : (x − 4)² = x² + 8x + 16.

Pour (a − b)², le double produit est négatif : (a − b)² = a² − 2ab + b². Donc (x − 4)² = x² − 8x + 16, avec un « − » devant 8x.

Tu maîtrises la notion si…

• Connaître les trois identités remarquables et reconnaître à quelle forme correspond un produit.
• Développer (a + b)², (a − b)² et (a + b)(a − b) sans oublier le double produit ni son signe.
• Éviter le piège (a + b)² = a² + b² en écrivant bien le terme central 2ab.

Vérifie que tu as compris

1. Le développement de (x + 5)² est :

   Réponse x² + 10x + 25

   (a + b)² = a² + 2ab + b² : (x + 5)² = x² + 2×x×5 + 5² = x² + 10x + 25. On n'oublie pas le double produit 10x.

2. Le développement de (x + 7)(x − 7) est :

   Réponse x² − 49

   C'est l'identité (a + b)(a − b) = a² − b² : (x + 7)(x − 7) = x² − 7² = x² − 49. Les produits croisés +7x et −7x se compensent.

3. En utilisant l'identité (a + b)², combien vaut 101² ?

   Réponse 10 201

   On écrit 101 = 100 + 1 : 101² = 100² + 2 × 100 × 1 + 1² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201. Oublier le double produit donnerait 10 001 ; ne pas le doubler donnerait 10 101 ; oublier le carré de 1 donnerait 10 200.