Équation-produit-nul : A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0

L'essentiel

La grande NOUVEAUTÉ de la 3e, c'est l'ÉQUATION-PRODUIT-NUL. Une équation-produit-nul est une équation de la forme « un produit = 0 », par exemple (x − 2)(x + 5) = 0. Pour la résoudre, on utilise une propriété fondamentale des nombres : un PRODUIT est nul SI ET SEULEMENT SI l'un au moins de ses facteurs est nul. Autrement dit, A × B = 0 ⟺ A = 0 OU B = 0. C'est logique : si on multiplie deux nombres et qu'on trouve 0, c'est forcément que l'un des deux valait 0 (3 × 5 = 15, jamais 0 ; seul 0 × quelque chose donne 0).

On applique cette règle en ANNULANT chaque facteur. Pour (x − 2)(x + 5) = 0 : soit le premier facteur est nul, x − 2 = 0, ce qui donne x = 2 ; soit le second est nul, x + 5 = 0, ce qui donne x = −5 (on retire 5 des deux côtés). L'équation a donc DEUX solutions : x = 2 ou x = −5. On vérifie : pour x = 2, (2 − 2)(2 + 5) = 0 × 7 = 0 ; pour x = −5, (−5 − 2)(−5 + 5) = (−7) × 0 = 0. Les deux valeurs annulent bien le produit.

ATTENTION : il ne faut surtout pas développer le produit (ce serait revenir à une équation avec un x², bien plus difficile) — la force de la forme produit-nul, c'est justement de donner les solutions directement, un facteur à la fois.

Comprendre

Équation-produit-nul : un produit de facteurs = 0. La règle décisive est A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0 (un produit est nul si et seulement si un facteur est nul, car seul 0 multiplié donne 0). On ANNULE chaque facteur séparément : (x − 2)(x + 5) = 0 donne x − 2 = 0 (→ x = 2) OU x + 5 = 0 (→ x = −5). D'où deux solutions, x = 2 et x = −5, qu'on vérifie en remplaçant : chaque valeur annule un facteur donc le produit.

Les erreurs typiques : développer le produit au lieu d'annuler les facteurs (on retombe sur un x², inutile) ; se tromper de signe (x + 5 = 0 donne x = −5, pas +5) ; ne garder qu'une seule solution. Le point conceptuel : la forme FACTORISÉE (un produit) est ce qui rend l'équation résoluble d'un coup. Ce concept est le cœur de la 3e ; il explique pourquoi, au concept suivant, on cherchera à FACTORISER toute équation pour se ramener à un produit nul.

Le cours

ÉQUATION-PRODUIT-NUL. C'est une équation où un PRODUIT de facteurs est égal à 0, par exemple (x − 2)(x + 5) = 0. LA RÈGLE DU PRODUIT NUL. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0. Pourquoi ?

Parce que multiplier deux nombres non nuls donne toujours un résultat non nul (2 × 3 = 6, (−4) × 5 = −20…) : le seul moyen d'obtenir 0 est qu'un des facteurs soit 0. MÉTHODE. On annule chaque facteur séparément, ce qui donne des équations du premier degré faciles. Pour (x − 2)(x + 5) = 0 : soit x − 2 = 0, d'où x = 2 ; soit x + 5 = 0, d'où x = −5. Les solutions sont x = 2 OU x = −5. LE MOT « OU ».

Les solutions se relient par « ou » : chaque valeur, prise seule, suffit à annuler le produit. Une équation-produit-nul a en général DEUX solutions (une par facteur). ATTENTION AUX SIGNES. x + 5 = 0 donne x = −5 (on retire 5 des deux côtés), et x − 2 = 0 donne x = 2 (on ajoute 2).

NE PAS DÉVELOPPER. Développer (x − 2)(x + 5) = x² + 3x − 10 ramènerait à une équation avec un x², bien plus difficile : la forme produit est justement celle qui livre les solutions directement. VÉRIFICATION.

Pour x = 2 : (2 − 2)(2 + 5) = 0 × 7 = 0 ✓. Pour x = −5 : (−5 − 2)(−5 + 5) = (−7) × 0 = 0 ✓. À RETENIR : (1) A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0 ; (2) on annule chaque facteur pour obtenir les solutions ; (3) attention aux signes, et il y a en général deux solutions.

Les erreurs fréquentes

On développe le produit : (x − 2)(x + 5) = 0 devient x² + 3x − 10 = 0.

On n'a PAS besoin de développer : un produit est nul si et seulement si un facteur est nul. On annule chaque facteur : x − 2 = 0 ou x + 5 = 0, d'où x = 2 ou x = −5. Développer ramènerait à un x² inutilement compliqué.

On se trompe de signe en annulant un facteur : x + 5 = 0 donne x = 5.

x + 5 = 0 : on retire 5 des deux côtés → x = −5. De même x − 2 = 0 → x = 2 (on ajoute 2). Le signe s'inverse par rapport au nombre dans la parenthèse.

On ne donne qu'une seule solution (par exemple x = 2).

Il y a en général DEUX solutions, une par facteur, reliées par « ou » : x = 2 OU x = −5. Chaque valeur annule le produit à elle seule.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer et utiliser la règle du produit nul : A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
• Résoudre chaque facteur séparément en gérant les signes (x − 2 = 0 → x = 2 ; x + 5 = 0 → x = −5).
• Donner les deux solutions reliées par « ou » et les vérifier en remplaçant x dans le produit.

Vérifie que tu as compris

1. Résous (x − 2)(x + 5) = 0.

   Réponse x = 2 ou x = −5

   Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0. Donc x − 2 = 0 (x = 2) ou x + 5 = 0 (x = −5). Attention au signe : x + 5 = 0 donne x = −5, pas +5. Il y a deux solutions, reliées par « ou ».

2. Résous (2x − 6)(x + 1) = 0.

   Réponse x = 3 ou x = −1

   On annule chaque facteur. Premier facteur : 2x − 6 = 0 → 2x = 6 → x = 3 (on divise par 2). Second facteur : x + 1 = 0 → x = −1. Les solutions sont x = 3 ou x = −1. Vérification : (2 × 3 − 6)(3 + 1) = 0 × 4 = 0 et (2 × (−1) − 6)(0) = 0.

3. Quelle équation est déjà sous la forme d'un produit nul ?

   Réponse (x − 1)(x + 6) = 0

   Une équation-produit-nul se présente sous la forme A × B = 0 : un PRODUIT de facteurs d'un côté, ZÉRO de l'autre. Seule (x − 1)(x + 6) = 0 remplit les deux conditions, et l'on en déduit x = 1 ou x = −6. Avec (x − 1)(x + 6) = 12, le second membre n'est pas nul : la règle ne s'applique pas. x² − 5x + 6 est une somme, pas un produit, et 2x + 3 ne comporte qu'un seul facteur.