Équation du 1er degré : résoudre en regroupant

L'essentiel

Une ÉQUATION est une égalité qui contient une inconnue, notée x. La RÉSOUDRE, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie. En 4e, tu as appris à résoudre les équations du PREMIER DEGRÉ, celles de la forme ax + b = cx + d (l'inconnue x apparaît, mais jamais au carré).

La méthode repose sur les OPÉRATIONS SYMÉTRIQUES : on garde l'égalité en faisant la MÊME opération sur les deux membres, comme une balance qu'on garde en équilibre. Prenons 3x + 2 = x + 8. ÉTAPE 1 — on regroupe les x d'un seul côté : on retire x des deux membres, ce qui donne 3x − x + 2 = 8, soit 2x + 2 = 8. ÉTAPE 2 — on regroupe les nombres de l'autre côté : on retire 2 des deux membres, ce qui donne 2x = 6. ÉTAPE 3 — on isole x : on divise les deux membres par 2, d'où x = 3. On VÉRIFIE toujours en remplaçant x par 3 dans l'égalité de départ : à gauche 3 × 3 + 2 = 11, à droite 3 + 8 = 11 : les deux membres sont égaux, donc x = 3 est bien la solution. L'astuce à retenir : quand un terme « change de côté », il change de signe (+2 à gauche devient −2 à droite).

Ce rappel est la rampe de lancement de la 3e : à partir de ces équations simples, on va découvrir les équations-produit-nul et les inéquations.

Comprendre

Résoudre ax + b = cx + d = isoler x par opérations symétriques (même opération des deux côtés, comme une balance). Deux gestes : (1) regrouper les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre — de 3x + 2 = x + 8 on retire x puis 2 des deux membres pour obtenir 2x = 6 ; (2) isoler x en divisant les deux membres par le coefficient : 2x = 6 → x = 6 ÷ 2 = 3. La règle mnémotechnique « un terme qui change de côté change de signe » n'est que le raccourci d'une opération symétrique. On VÉRIFIE en remplaçant x dans l'égalité de départ : 3 × 3 + 2 = 11 et 3 + 8 = 11, cohérent.

Les erreurs classiques : déplacer un terme sans changer son signe, et oublier de diviser le SECOND membre (2x = 6 donne x = 3, pas x = 6). Ce concept est un rappel de 4e : il réinstalle les gestes de résolution avant les deux nouveautés de la 3e — l'équation-produit-nul et l'inéquation.

Le cours

ÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ. Une équation est une égalité contenant une inconnue x. Résoudre, c'est trouver la (ou les) valeur(s) de x qui rendent l'égalité vraie.

Une équation du premier degré a la forme ax + b = cx + d : l'inconnue apparaît, jamais élevée au carré. OPÉRATIONS SYMÉTRIQUES. On peut ajouter (ou retirer) un même nombre aux deux membres, et multiplier (ou diviser) les deux membres par un même nombre non nul, sans changer les solutions : l'égalité reste vraie, comme une balance en équilibre.

MÉTHODE. Résolvons 3x + 2 = x + 8. (1) On regroupe les x d'un côté : on retire x des deux membres → 3x − x + 2 = 8, soit 2x + 2 = 8. (2) On regroupe les nombres de l'autre : on retire 2 des deux membres → 2x = 6. (3) On isole x : on divise les deux membres par 2 → x = 3. RÈGLE PRATIQUE. Un terme qui passe d'un membre à l'autre change de signe (c'est le raccourci de l'opération symétrique) : de 3x + 2 = x + 8 on écrit directement 3x − x = 8 − 2, soit 2x = 6. AVEC DES PARENTHÈSES.

On développe d'abord : 3(x − 2) = x + 4 → 3x − 6 = x + 4 → 2x = 10 → x = 5. VÉRIFICATION. On remplace x par sa valeur dans l'égalité de départ : pour x = 3, à gauche 3 × 3 + 2 = 11, à droite 3 + 8 = 11 : égalité vraie, la solution est correcte. ERREUR À ÉVITER.

On divise les DEUX membres : 2x = 6 donne x = 6 ÷ 2 = 3, jamais x = 6. À RETENIR : (1) regrouper les x d'un côté, les nombres de l'autre (un terme qui change de côté change de signe) ; (2) isoler x en divisant par son coefficient ; (3) toujours vérifier en remplaçant x dans l'égalité de départ.

Les erreurs fréquentes

On déplace un terme sans changer son signe : de 3x + 2 = x + 8, on écrit 3x + x = 8 + 2.

Un terme qui change de membre change de SIGNE (c'est une opération symétrique) : on retire x et on retire 2 des deux côtés → 3x − x = 8 − 2, soit 2x = 6, donc x = 3.

On oublie de diviser le second membre : de 2x = 6, on conclut x = 6.

On divise LES DEUX membres par le coefficient 2 : x = 6 ÷ 2 = 3. La solution est x = 3, pas x = 6.

On ne développe pas les parenthèses avant de résoudre : 3(x − 2) = x + 4 traité comme 3x − 2 = x + 4.

On développe d'abord : 3(x − 2) = 3x − 6 (le 3 multiplie x ET −2). L'équation devient 3x − 6 = x + 4 → 2x = 10 → x = 5.

Tu maîtrises la notion si…

• Regrouper les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre par opérations symétriques (3x + 2 = x + 8 → 2x = 6).
• Isoler x en divisant les deux membres par son coefficient (2x = 6 → x = 3).
• Vérifier une solution en remplaçant x dans l'égalité de départ (3 × 3 + 2 = 11 = 3 + 8).

Vérifie que tu as compris

1. Résous 3x + 2 = x + 8.

   Réponse x = 3

   On regroupe par opérations symétriques : on retire x des deux côtés → 2x + 2 = 8, puis on retire 2 → 2x = 6, et on divise par 2 → x = 3. Vérification : 3 × 3 + 2 = 11 et 3 + 8 = 11. On divise bien le second membre par 2 (sinon on obtiendrait x = 6 à tort).

2. Résous 4x + 3 = 6x − 5.

   Réponse x = 4

   On retire 6x des deux côtés → −2x + 3 = −5, puis on retire 3 → −2x = −8, et on divise par −2 → x = 4. Vérification : 4 × 4 + 3 = 19 et 6 × 4 − 5 = 19. (On peut aussi retirer 4x pour garder l'inconnue positive : 3 = 2x − 5 → 2x = 8 → x = 4.)

3. On veut résoudre 6x − 4 = 2x + 12. Quelle égalité obtient-on en retirant 2x aux deux membres ?

   Réponse 4x − 4 = 12

   Retirer 2x aux DEUX membres conserve l'égalité. À gauche : 6x − 2x = 4x, il reste 4x − 4. À droite : 2x + 12 − 2x = 12. On obtient donc 4x − 4 = 12, puis 4x = 16 et x = 4. Vérification : 6 × 4 − 4 = 20 et 2 × 4 + 12 = 20. Ajouter 2x au lieu de le retirer donnerait 8x − 4, et ne rien changer à gauche donnerait 6x − 4.