Inéquation du 1er degré : le sens change (÷ par un négatif)

L'essentiel

Une INÉQUATION, c'est comme une équation, mais l'égalité = est remplacée par une INÉGALITÉ : > (strictement supérieur), < (strictement inférieur), ≥ (supérieur ou égal) ou ≤ (inférieur ou égal). La résoudre, c'est trouver TOUTES les valeurs de x qui rendent l'inégalité vraie — en général une infinité, pas une seule. La bonne nouvelle : on utilise presque les mêmes gestes que pour une équation.

On peut ajouter ou retirer un même nombre aux deux membres sans problème. Résolvons 2x + 1 > 7 : on retire 1 des deux côtés → 2x > 6, puis on divise par 2 (un nombre POSITIF) → x > 3. Les solutions sont tous les nombres strictement plus grands que 3. MAIS il y a UNE RÈGLE À NE JAMAIS OUBLIER : quand on multiplie ou qu'on divise les deux membres par un nombre NÉGATIF, l'inégalité CHANGE DE SENS (le > devient <, le ≤ devient ≥…). Exemple : −2x > 6. On divise par −2, qui est négatif, donc le sens s'inverse : x < −3 (et surtout pas x > −3).

Autre exemple : x ÷ (−3) ≥ 2. On multiplie par −3, négatif : le ≥ devient ≤, donc x ≤ −6. Pourquoi ce changement ? Parce que multiplier par un négatif retourne l'ordre des nombres : 2 < 5, mais −2 > −5. C'est le piège numéro un des inéquations : dès qu'un nombre négatif multiplie ou divise, on retourne le sens.

Comprendre

Inéquation du 1er degré : mêmes gestes qu'une équation (opérations symétriques), avec UNE règle en plus. Ajouter/retirer un nombre : sans effet sur le sens. Multiplier/diviser par un POSITIF : sans effet (2x + 1 > 7 → 2x > 6 → x > 3, on divise par +2).

Multiplier/diviser par un NÉGATIF : le sens de l'inégalité S'INVERSE. −2x > 6 : on divise par −2 (négatif) → x < −3 (le > devient <). x ÷ (−3) ≥ 2 : on multiplie par −3 → x ≤ −6 (le ≥ devient ≤). La raison : multiplier par un négatif retourne l'ordre (2 < 5 mais −2 > −5). Les erreurs typiques : diviser par un négatif sans changer le sens (le piège n°1), et croire qu'il n'y a qu'une solution alors qu'il y en a une infinité (tous les x > 3).

Une inéquation décrit un ENSEMBLE de solutions, qu'on représentera sur une droite graduée au concept suivant. Le réflexe : résoudre comme une équation, mais surveiller le signe du nombre par lequel on multiplie ou divise.

Le cours

INÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ. Une inéquation compare deux expressions avec >, <, ≥ ou ≤ (par exemple 2x + 1 > 7). La résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'inégalité vraie : en général une INFINITÉ de valeurs.

LES GESTES AUTORISÉS. (1) Ajouter ou retirer un même nombre aux deux membres : le sens ne change pas. (2) Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre POSITIF : le sens ne change pas. (3) Multiplier ou diviser par un nombre NÉGATIF : le sens de l'inégalité CHANGE (> ↔ <, ≥ ↔ ≤). EXEMPLE SANS PIÈGE. 2x + 1 > 7 : on retire 1 → 2x > 6 ; on divise par 2 (positif) → x > 3. Solutions : tous les x strictement supérieurs à 3. LE PIÈGE — DIVISER PAR UN NÉGATIF. −2x > 6 : pour isoler x, on divise par −2, qui est NÉGATIF, donc on change le sens → x < −3 (et non x > −3). LE PIÈGE — MULTIPLIER PAR UN NÉGATIF. x ÷ (−3) ≥ 2 : on multiplie les deux membres par −3, négatif, donc le ≥ devient ≤ → x ≤ −6. POURQUOI ?

Multiplier par un nombre négatif RETOURNE l'ordre des nombres : 2 < 5, mais en multipliant par −1 on obtient −2 > −5. L'inégalité doit donc être retournée pour rester vraie. UNE ASTUCE POUR ÉVITER LE PIÈGE. On peut garder l'inconnue positive : −2x > 6 revient à ajouter 2x et retirer 6 des deux côtés → −6 > 2x, soit 2x < −6, puis x < −3 (aucune division par un négatif).

VÉRIFICATION. On teste une valeur de l'ensemble : pour x < −3, prenons x = −4 : −2 × (−4) = 8 > 6 ✓. À RETENIR : (1) on résout une inéquation comme une équation ; (2) multiplier ou diviser par un NÉGATIF change le sens de l'inégalité ; (3) une inéquation a une infinité de solutions, pas une seule valeur.

Les erreurs fréquentes

On divise par un nombre négatif SANS changer le sens : −2x > 6 donne x > −3.

Multiplier ou diviser les deux membres par un nombre NÉGATIF CHANGE le sens de l'inégalité. −2x > 6 : on divise par −2, donc le > devient < → x < −3.

On multiplie par un négatif sans inverser le sens : x ÷ (−3) ≥ 2 donne x ≥ −6.

On multiplie les deux membres par −3 (négatif) : le ≥ devient ≤ → x ≤ −6. Tout facteur négatif retourne le sens.

On donne une seule valeur comme pour une équation : 2x + 1 > 7 donne x = 3.

Une inéquation a une INFINITÉ de solutions : 2x + 1 > 7 → x > 3, c'est-à-dire TOUS les nombres strictement supérieurs à 3, pas la seule valeur 3 (qui, elle, ne convient pas car 3 n'est pas > 3).

Tu maîtrises la notion si…

• Résoudre une inéquation du premier degré par opérations symétriques comme une équation (2x + 1 > 7 → 2x > 6 → x > 3).
• Changer le sens de l'inégalité en multipliant ou divisant les deux membres par un nombre négatif (−2x > 6 → x < −3 ; x ÷ (−3) ≥ 2 → x ≤ −6).
• Reconnaître qu'une inéquation admet une infinité de solutions (tous les nombres x > 3), et non une seule valeur.

Vérifie que tu as compris

1. Résous 2x + 1 > 7.

   Réponse x > 3

   On retire 1 des deux membres → 2x > 6, puis on divise par 2, qui est POSITIF, donc le sens ne change pas → x > 3. Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 3 (une infinité de valeurs, pas seulement x = 3).

2. Résous −2x > 6.

   Réponse x < −3

   Pour isoler x, on divise les deux membres par −2, qui est NÉGATIF : la règle impose de CHANGER le sens de l'inégalité, donc le > devient < → x < −3. Vérification avec x = −4 : −2 × (−4) = 8 > 6. Diviser par un négatif sans retourner le sens (x > −3) est l'erreur classique.

3. Dans la résolution d'une inéquation, dans quel cas doit-on changer le sens de l'inégalité ?

   Réponse quand on divise les deux membres par un nombre négatif

   Ajouter ou retirer un même nombre aux deux membres ne change jamais le sens de l'inégalité, même si ce nombre est négatif : c'est une addition. Multiplier ou diviser par un nombre POSITIF ne le change pas non plus. En revanche, multiplier ou diviser les deux membres par un nombre NÉGATIF inverse le sens : par exemple 2 < 5, mais en multipliant par −1 on obtient −2 > −5.