Résoudre en factorisant pour se ramener à un produit nul

L'essentiel

L'équation-produit-nul est puissante, mais la plupart des équations ne se présentent pas déjà sous forme de produit : elles ressemblent à x² − 9 = 0 ou x² + 4x = 0. L'idée-clé de la 3e est alors de FACTORISER l'expression pour la transformer en un produit égal à 0 — et là, on applique la règle du produit nul. La factorisation apprise au chapitre des identités remarquables devient un OUTIL DE RÉSOLUTION. PREMIER CAS, une différence de carrés : x² − 9. On reconnaît x² − 3², donc x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

L'équation x² − 9 = 0 devient (x − 3)(x + 3) = 0, un produit nul : x − 3 = 0 ou x + 3 = 0, d'où x = 3 ou x = −3. DEUXIÈME CAS, un facteur commun : x² + 4x. Les deux termes contiennent x, donc x² + 4x = x(x + 4). L'équation x² + 4x = 0 devient x(x + 4) = 0 : soit x = 0, soit x + 4 = 0 (x = −4).

Les solutions sont x = 0 ou x = −4. PIÈGE MAJEUR : ne JAMAIS « diviser par x » pour simplifier x² + 4x = 0, car x pourrait valoir 0 — on perdrait la solution x = 0. On factorise, on ne divise pas. Autre piège : x² = 9 ne donne pas seulement x = 3, mais AUSSI x = −3, car (−3)² = 9 : la factorisation le montre proprement. La méthode générale : factoriser, puis annuler chaque facteur.

Comprendre

Se ramener à un produit nul en FACTORISANT. La plupart des équations (x² − 9 = 0, x² + 4x = 0) ne sont pas des produits : on les factorise d'abord, puis on applique A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0. Deux outils, hérités des identités remarquables : (1) différence de carrés, x² − 9 = (x − 3)(x + 3), d'où x = 3 ou x = −3 ; (2) facteur commun, x² + 4x = x(x + 4), d'où x = 0 ou x = −4. Le piège décisif est de « diviser par x » dans x² + 4x = 0 : c'est interdit (x peut être nul), on FACTORISE par x pour garder la solution x = 0. Autre point conceptuel : x² = 9 a DEUX solutions (3 et −3), la factorisation le rend visible. On vérifie toujours en remplaçant.

Ce concept relie deux chapitres : factoriser (chapitre précédent) sert désormais à résoudre. Le réflexe : devant une équation avec un x², tout ramener à 0, factoriser, puis annuler chaque facteur.

Le cours

SE RAMENER À UN PRODUIT NUL. Beaucoup d'équations ne sont pas déjà des produits : x² − 9 = 0, x² + 4x = 0, etc. La stratégie est de FACTORISER pour obtenir un produit égal à 0, puis d'appliquer la règle du produit nul.

La factorisation (chapitre des identités remarquables) devient un outil de résolution. ÉTAPE 0. On met tout d'un même côté pour avoir « … = 0 » (ici c'est déjà le cas). CAS 1 — DIFFÉRENCE DE CARRÉS. x² − 9 = 0. On reconnaît x² − 3², donc x² − 9 = (x − 3)(x + 3).

L'équation devient (x − 3)(x + 3) = 0 : x − 3 = 0 ou x + 3 = 0, d'où x = 3 ou x = −3. CAS 2 — FACTEUR COMMUN. x² + 4x = 0. Les deux termes ont x en commun : x² + 4x = x(x + 4). L'équation devient x(x + 4) = 0 : x = 0 ou x + 4 = 0, d'où x = 0 ou x = −4. PIÈGE 1 — NE PAS DIVISER PAR x. Pour x² + 4x = 0, on ne « simplifie » pas par x : x pourrait valoir 0, on perdrait la solution x = 0. On FACTORISE par x, on ne divise pas.

PIÈGE 2 — x² = a A DEUX SOLUTIONS. x² = 9 signifie x × x = 9 : les solutions sont x = 3 ou x = −3 (deux solutions) (car (−3)² = 9). La factorisation x² − 9 = (x − 3)(x + 3) le montre : les deux solutions apparaissent. VÉRIFICATION. x = 3 : 3² − 9 = 0 ✓ ; x = −3 : (−3)² − 9 = 9 − 9 = 0 ✓.

À RETENIR : (1) factoriser pour se ramener à un produit nul, puis annuler chaque facteur ; (2) différence de carrés x² − a² = (x − a)(x + a) et facteur commun x² + bx = x(x + b) ; (3) ne jamais diviser par x — factoriser par x conserve la solution x = 0.

Les erreurs fréquentes

On divise x² + 4x = 0 par x et on écrit x + 4 = 0, donc x = −4 seulement.

On ne divise JAMAIS par x (x peut valoir 0). On FACTORISE par x : x² + 4x = x(x + 4) = 0, d'où x = 0 OU x = −4. La solution x = 0 ne doit pas être perdue.

De x² − 9 = 0, on écrit x² = 9 puis x = 9.

x² = 9 signifie x × x = 9 : les solutions sont x = 3 et x = −3 (car (−3)² = 9 aussi). En factorisant : x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0 → x = 3 ou x = −3.

On essaie de résoudre x² − 9 = 0 sans factoriser, comme une équation du premier degré.

Avec un x², on FACTORISE d'abord pour se ramener à un produit nul : x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0. On annule ensuite chaque facteur.

Tu maîtrises la notion si…

• Factoriser une différence de carrés pour se ramener à un produit nul (x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0).
• Factoriser par un facteur commun sans perdre de solution (x² + 4x = x(x + 4) = 0 → x = 0 ou x = −4).
• Résoudre l'équation-produit-nul obtenue et donner toutes les solutions (x = 3 ou x = −3).

Vérifie que tu as compris

1. Résous x² − 9 = 0.

   Réponse x = 3 ou x = −3

   x² − 9 est une différence de carrés : x² − 9 = (x − 3)(x + 3). L'équation devient (x − 3)(x + 3) = 0, un produit nul : x = 3 ou x = −3. Il y a bien DEUX solutions, car (−3)² = 9 aussi. Écrire x = 3 seulement (ou x = 9) est incomplet ou faux.

2. Résous x² + 4x = 0.

   Réponse x = 0 ou x = −4

   Les deux termes ont x en facteur commun : x² + 4x = x(x + 4). L'équation devient x(x + 4) = 0 : x = 0 ou x + 4 = 0 (x = −4). Il ne faut PAS diviser par x (on perdrait la solution x = 0) : on factorise. Les solutions sont x = 0 ou x = −4.

3. Pour résoudre x² = 5x, quelle est la bonne méthode ?

   Réponse tout ramener à gauche puis factoriser par x

   On écrit x² − 5x = 0, puis on factorise par x : x(x − 5) = 0. La règle du produit nul donne alors x = 0 ou x = 5. Diviser par x est INTERDIT ici, car x peut être nul : on perdrait la solution x = 0. Vérification des deux solutions : 0² = 0 et 5 × 0 = 0 ; 5² = 25 et 5 × 5 = 25.