Représenter les solutions sur une droite & mettre en inéquation

L'essentiel

Une inéquation a une infinité de solutions : pour les montrer d'un coup d'œil, on les REPRÉSENTE sur une DROITE GRADUÉE. La méthode : on repère la valeur limite sur la droite, on y place un CROCHET, et on HACHURE la partie qui contient les solutions. Deux détails décident de tout.

LE CROCHET. S'il s'agit d'une inégalité STRICTE (> ou <), la valeur limite n'est PAS une solution : le crochet est OUVERT (il tourne le dos aux hachures, la limite est exclue). S'il s'agit d'une inégalité LARGE (≥ ou ≤), la limite EST une solution : le crochet est FERMÉ (il entoure la valeur, incluse).

LE CÔTÉ HACHURÉ. Pour x > 3, les solutions sont les nombres PLUS GRANDS que 3 : on hachure à DROITE de 3. Pour x ≤ −6, les solutions sont les nombres PLUS PETITS que −6 (et −6 lui-même) : on hachure à GAUCHE, avec un crochet fermé. METTRE EN INÉQUATION.

La 3e demande aussi de TRADUIRE un problème en français par une inéquation. On choisit l'inconnue x, puis on traduit les mots. « le double d'un nombre » → 2x ; « augmenté de 1 » → 2x + 1 ; « dépasse 7 » → > 7 (dépasser, c'est être strictement supérieur). L'inéquation est 2x + 1 > 7, qu'on résout : 2x > 6, x > 3. Attention au vocabulaire : « dépasse » et « est supérieur à » donnent > ; « au moins » et « au minimum » donnent ≥ ; « ne dépasse pas » et « au plus » donnent ≤.

Comprendre

Représenter les solutions sur une droite graduée + mettre un problème en inéquation. Sur la droite : on place la limite, un crochet OUVERT pour une inégalité stricte (> / <, limite exclue) ou FERMÉ pour une inégalité large (≥ / ≤, limite incluse), et on hachure le côté des solutions (x > 3 : à droite ; x ≤ −6 : à gauche, crochet fermé). Mettre en inéquation : choisir x, traduire les mots en repérant le vocabulaire — « le double augmenté de 1 » → 2x + 1, « dépasse 7 » → > 7 — puis résoudre (2x + 1 > 7 → x > 3).

Erreurs typiques : crochet fermé pour une inégalité stricte, hachurer le mauvais côté, confondre « dépasse » (>) et « au moins » (≥). La droite graduée traduit visuellement qu'une inéquation décrit un ENSEMBLE (un intervalle) et non une valeur. Ce concept clôt le chapitre en reliant l'algèbre (résoudre) au sens (représenter, modéliser un problème réel).

Le cours

REPRÉSENTER LES SOLUTIONS. Une inéquation a une infinité de solutions ; on les visualise sur une DROITE GRADUÉE. Méthode : (1) placer la valeur limite ; (2) tracer un crochet ; (3) hachurer le côté des solutions.

LE CROCHET : OUVERT OU FERMÉ. Inégalité STRICTE (> ou <) : la limite est EXCLUE, le crochet est OUVERT. Inégalité LARGE (≥ ou ≤) : la limite est INCLUSE, le crochet est FERMÉ.

Exemple : x > 3 se représente par un crochet ouvert en 3 et des hachures vers la DROITE (les nombres plus grands que 3) ; 3 n'est pas solution (3 n'est pas > 3). Exemple : x ≤ −6 se représente par un crochet fermé en −6 et des hachures vers la GAUCHE (les nombres plus petits que −6, et −6 lui-même). LE CÔTÉ.

On hachure du côté des solutions : à droite pour x > … ou x ≥ …, à gauche pour x < … ou x ≤ …. METTRE EN INÉQUATION. Traduire un énoncé : on choisit l'inconnue x, on traduit chaque morceau, on repère le mot qui donne le sens.

VOCABULAIRE : « est supérieur à », « dépasse », « plus de » → > ; « est inférieur à », « moins de » → < ; « au moins », « au minimum » → ≥ ; « au plus », « ne dépasse pas », « au maximum » → ≤. EXEMPLE. « Trouver les nombres dont le double augmenté de 1 dépasse 7. » On pose x le nombre : le double augmenté de 1 est 2x + 1, « dépasse 7 » donne 2x + 1 > 7. On résout : 2x > 6, x > 3. Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à 3. À RETENIR : (1) crochet OUVERT pour > / < (exclu), FERMÉ pour ≥ / ≤ (inclus) ; (2) hachurer du côté des solutions (droite pour >, gauche pour <) ; (3) pour mettre en inéquation, repérer le vocabulaire (« dépasse » → >, « au moins » → ≥).

Les erreurs fréquentes

On met un crochet FERMÉ pour une inégalité stricte : x > 3 avec 3 inclus.

Pour > ou < (inégalité stricte), la limite est EXCLUE : le crochet est OUVERT. 3 n'est pas solution de x > 3. Le crochet fermé est réservé à ≥ ou ≤ (limite incluse).

On hachure du mauvais côté : pour x > 3, on hachure à gauche de 3.

Les solutions de x > 3 sont les nombres PLUS GRANDS que 3 : on hachure à DROITE de 3. Pour x < 3 (ou x ≤ 3), on hachurerait à gauche.

En mettant en inéquation, on confond « dépasse » et « au moins » : « dépasse 7 » traduit par ≥ 7.

« dépasse » (ou « est supérieur à ») signifie strictement plus que, donc > 7. « au moins 7 » se traduirait par ≥ 7 (7 accepté). Le vocabulaire fixe le symbole.

Tu maîtrises la notion si…

• Représenter l'ensemble des solutions sur une droite graduée avec un crochet ouvert (> / <) ou fermé (≥ / ≤).
• Hachurer le bon côté selon le sens de l'inégalité (x > 3 : à droite ; x ≤ −6 : à gauche).
• Traduire un énoncé en inéquation en repérant le vocabulaire (« dépasse » → >, « au moins » → ≥) puis le résoudre (2x + 1 > 7 → x > 3).

Vérifie que tu as compris

1. Sur une droite graduée (on hachure les solutions), comment représente-t-on x ≥ 2 ?

   Réponse crochet fermé en 2, hachures vers la droite

   x ≥ 2 est une inégalité LARGE (≥) : la limite 2 est incluse, donc le crochet est FERMÉ. Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux à 2 : on hachure vers la DROITE. Un crochet ouvert serait réservé à une inégalité stricte (x > 2).

2. « Le double d'un nombre, augmenté de 1, dépasse 7 » se traduit par :

   Réponse 2x + 1 > 7

   On pose x le nombre : « le double » → 2x, « augmenté de 1 » → 2x + 1, « dépasse 7 » → > 7 (dépasser signifie strictement supérieur, donc > et non ≥). L'inéquation est 2x + 1 > 7 (et non 2(x + 1) > 7 : c'est le double qui est augmenté de 1, pas l'inverse). Elle se résout en x > 3.

3. Sur une droite graduée, les solutions sont hachurées à gauche de 5, avec un crochet ouvert en 5. Quelle inéquation est représentée ?

   Réponse x < 5

   Les hachures situées à GAUCHE de 5 signifient que les solutions sont plus petites que 5. Le crochet OUVERT indique que la borne 5 est exclue : l'inégalité est donc STRICTE. On lit x < 5. Un crochet fermé aurait donné x ≤ 5, et des hachures vers la droite auraient donné x > 5.