Calculer la longueur de l'hypoténuse

En une phrase

L'hypoténuse, c'est le plus grand côté, celui en face de l'angle droit. Pour la calculer : tu mets au carré les deux autres côtés, tu les additionnes, puis tu prends la racine carrée. Exemple avec 3 et 4 : 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc l'hypoténuse vaut √25 = 5.

Comprendre

Quand un triangle est rectangle et que tu cherches son plus grand côté, l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit), tu utilises le théorème de Pythagore dans le sens du calcul. La méthode tient en trois étapes, toujours les mêmes. Étape 1 : tu repères que la longueur cherchée est bien l'hypoténuse (en face de l'angle droit).

Étape 2 : tu écris l'égalité de Pythagore, qui dit que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit. Étape 3 : tu calcules. Prenons un triangle rectangle dont les deux côtés de l'angle droit mesurent 3 et 4. Tu écris : hypoténuse² = 3² + 4².

Tu calcules les carrés : 3² = 9 et 4² = 16. Tu additionnes : 9 + 16 = 25. Donc hypoténuse² = 25. Pour finir, comme tu as le carré de la longueur, tu prends la racine carrée : hypoténuse = √25 = 5. La longueur cherchée vaut 5. Le point clé à retenir : pour l'hypoténuse, on ADDITIONNE les deux carrés. C'est logique, car l'hypoténuse est le plus grand côté : elle doit être plus longue que chacun des deux autres, donc on cumule. Un autre exemple : côtés 5 et 12. hypoténuse² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, donc hypoténuse = √169 = 13.

Le cours

Calculer la longueur de l'hypoténuse est l'application directe du théorème de Pythagore. On l'utilise lorsqu'on connaît les longueurs des deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle et qu'on cherche la longueur du troisième côté, l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, qui est aussi le plus long). La rédaction suit toujours les mêmes étapes.

D'abord, on justifie qu'on est dans un triangle rectangle et on repère l'hypoténuse comme la longueur cherchée. Ensuite, on écrit l'égalité de Pythagore : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit. Enfin, on remplace par les valeurs, on calcule la somme des deux carrés, puis on prend la racine carrée pour obtenir la longueur.

Exemple : dans un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent 3 et 4, on écrit hypoténuse² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, d'où hypoténuse = √25 = 5. Autre exemple : avec des côtés de 5 et 12, on a hypoténuse² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, donc hypoténuse = √169 = 13. Le point essentiel est que, pour calculer l'hypoténuse, on ADDITIONNE les carrés des deux côtés de l'angle droit. Cela se comprend bien : l'hypoténuse étant le plus grand côté, sa longueur doit dépasser celle de chacun des deux autres. Il ne faut surtout pas oublier la dernière étape, la racine carrée : le calcul de la somme donne le carré de l'hypoténuse, pas l'hypoténuse elle-même.

Bien maîtriser ce calcul prépare le calcul d'un côté de l'angle droit, où l'on soustrait au lieu d'additionner.

Les erreurs fréquentes

Oublier de prendre la racine carrée et donner le carré comme résultat : pour des côtés 3 et 4, répondre que l'hypoténuse vaut 25.

La somme 9 + 16 = 25 donne le CARRÉ de l'hypoténuse, pas l'hypoténuse. Il faut prendre la racine carrée : hypoténuse = √25 = 5. La réponse est 5, pas 25.

Additionner les longueurs au lieu des carrés : pour des côtés 3 et 4, calculer 3 + 4 = 7.

Le théorème de Pythagore porte sur les CARRÉS des longueurs, pas sur les longueurs. Il faut écrire hypoténuse² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, puis hypoténuse = √25 = 5, et non 3 + 4 = 7.

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer l'hypoténuse comme le côté opposé à l'angle droit et reconnaître que c'est la longueur cherchée.
• Écrire l'égalité de Pythagore en ADDITIONNANT les carrés des deux côtés de l'angle droit (hypoténuse² = côté1² + côté2²).
• Calculer la somme des carrés puis prendre la racine carrée pour obtenir l'hypoténuse (ex. 3 et 4 → √25 = 5).

Vérifie que tu as compris

1. Un triangle rectangle a deux côtés de l'angle droit de 3 cm et 4 cm. Son hypoténuse mesure :

   Réponse 5 cm

   hypoténuse² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, donc hypoténuse = √25 = 5 cm.

2. Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 5 cm et 12 cm. Son hypoténuse mesure :

   Réponse 13 cm

   hypoténuse² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, donc hypoténuse = √169 = 13 cm.

3. Un terrain rectangulaire mesure 8 m sur 15 m. Quelle est la longueur de sa diagonale ?

   Réponse 17 m

   La diagonale est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 8 m et 15 m : diagonale² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289, donc diagonale = √289 = 17 m (et non 8 + 15 = 23 m).