Calculer un côté de l'angle droit

En une phrase

Quand tu connais l'hypoténuse (le plus grand côté) et un des deux côtés de l'angle droit, et que tu cherches l'autre, tu SOUSTRAIS : hypoténuse² moins côté connu², puis racine carrée. Exemple : hypoténuse 10, côté 6 : autre² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, donc l'autre côté vaut √64 = 8.

Comprendre

Le théorème de Pythagore ne sert pas qu'à calculer l'hypoténuse : il permet aussi de retrouver un côté de l'angle droit. La situation est différente. Cette fois, tu connais l'hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l'angle droit) et UN des deux côtés de l'angle droit ; tu cherches l'AUTRE côté de l'angle droit.

La méthode tient en trois étapes. Étape 1 : tu repères bien que la longueur cherchée est un côté de l'angle droit, pas l'hypoténuse. Étape 2 : tu écris l'égalité de Pythagore et tu l'isoles.

Comme le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit, pour retrouver un côté on fait la SOUSTRACTION : (côté cherché)² = (hypoténuse)² − (côté connu)². Étape 3 : tu calcules, puis tu prends la racine carrée. Exemple : l'hypoténuse mesure 10 et un côté de l'angle droit mesure 6. Tu écris : autre² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, donc autre = √64 = 8. Le point à ne JAMAIS confondre : ici, on SOUSTRAIT, on n'additionne pas.

L'erreur la plus fréquente est d'additionner par habitude, mais ce serait absurde : un côté de l'angle droit est forcément PLUS COURT que l'hypoténuse, donc le résultat doit être plus petit que l'hypoténuse. Si tu trouves une longueur plus grande que l'hypoténuse, c'est le signe d'une erreur. Autre exemple : hypoténuse 13, côté 5. autre² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc autre = √144 = 12.

Le cours

Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit est la deuxième utilisation du théorème de Pythagore. On l'emploie lorsqu'on connaît l'hypoténuse et l'un des deux côtés de l'angle droit, et qu'on cherche le second côté de l'angle droit. La démarche, comme pour l'hypoténuse, se rédige en étapes.

On justifie d'abord qu'on est dans un triangle rectangle et on repère que la longueur cherchée est un côté de l'angle droit (et non l'hypoténuse). On écrit ensuite l'égalité de Pythagore et on isole le côté cherché : son carré est égal au carré de l'hypoténuse MOINS le carré du côté connu. Autrement dit (côté cherché)² = (hypoténuse)² − (côté connu)².

On calcule enfin la différence des deux carrés, puis on prend la racine carrée. Exemple : si l'hypoténuse mesure 10 et un côté de l'angle droit mesure 6, alors autre² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, d'où autre = √64 = 8. Autre exemple : hypoténuse 13, côté connu 5 : autre² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc autre = √144 = 12. Le point capital est qu'ici on SOUSTRAIT, alors que pour l'hypoténuse on additionne. La différence vient du rôle de chaque côté : l'hypoténuse étant le plus long, un côté de l'angle droit est nécessairement plus court qu'elle, donc on retire le carré du côté connu.

Un bon réflexe de vérification : la longueur trouvée pour un côté de l'angle droit doit toujours être inférieure à l'hypoténuse. Savoir choisir entre additionner (hypoténuse cherchée) et soustraire (côté de l'angle droit cherché) selon ce que l'on cherche est l'essentiel de ce concept.

Les erreurs fréquentes

Additionner les carrés alors qu'on cherche un côté de l'angle droit : avec une hypoténuse de 10 et un côté de 6, calculer 10² + 6² = 136.

Quand on cherche un côté de l'angle droit, on SOUSTRAIT : autre² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, donc autre = √64 = 8. Additionner donnerait une longueur plus grande que l'hypoténuse, ce qui est impossible pour un côté de l'angle droit.

Soustraire dans le mauvais sens : faire côté connu² − hypoténuse², par exemple 6² − 10² = 36 − 100.

On soustrait toujours le carré du côté connu AU carré de l'hypoténuse (le plus grand) : autre² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64. Faire 6² − 10² donnerait un nombre négatif, ce qui n'a pas de sens pour un carré de longueur.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître que la longueur cherchée est un côté de l'angle droit (et non l'hypoténuse), à partir de l'énoncé.
• Écrire l'égalité en SOUSTRAYANT : (côté cherché)² = (hypoténuse)² − (côté connu)², avec l'hypoténuse en premier.
• Calculer la différence des carrés puis prendre la racine carrée, et vérifier que le résultat est plus petit que l'hypoténuse (ex. hyp 10, côté 6 → √64 = 8).

Vérifie que tu as compris

1. L'hypoténuse mesure 10 cm, un côté de l'angle droit mesure 6 cm. L'autre côté mesure :

   Réponse 8 cm

   côté² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, donc côté = √64 = 8 cm (on soustrait, car c'est un côté de l'angle droit).

2. L'hypoténuse mesure 15 cm et un côté de l'angle droit mesure 9 cm. L'autre côté mesure :

   Réponse 12 cm

   côté² = 15² − 9² = 225 − 81 = 144, donc côté = √144 = 12 cm.

3. Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur ; son pied est posé à 3 m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?

   Réponse 4 m

   L'échelle est l'hypoténuse. La hauteur cherchée est un côté de l'angle droit, donc on soustrait : hauteur² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, d'où hauteur = √16 = 4 m (et non 5 − 3 = 2 m).