La réciproque de Pythagore

En une phrase

La réciproque, c'est l'outil pour SAVOIR si un triangle est rectangle quand on connaît ses trois longueurs. Tu compares le carré du PLUS GRAND côté à la somme des carrés des deux autres. S'ils sont égaux, le triangle est rectangle. S'ils sont différents, il ne l'est pas. Exemple : 6, 8, 10 : 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10², donc rectangle.

Comprendre

Jusqu'ici, Pythagore te servait à calculer une longueur dans un triangle que tu SAVAIS déjà rectangle. La réciproque fait l'inverse : elle te permet de PROUVER qu'un triangle est rectangle (ou non) à partir de ses trois longueurs. C'est un outil de démonstration, très utile.

La méthode est toujours la même. Étape 1 : tu repères le PLUS GRAND des trois côtés (ce serait l'hypoténuse si le triangle était rectangle). Étape 2 : tu calcules séparément deux choses : d'un côté le carré du plus grand côté, de l'autre la somme des carrés des deux autres côtés.

Étape 3 : tu compares ces deux résultats. S'ils sont ÉGAUX, alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle (l'angle droit est en face du plus grand côté). S'ils sont DIFFÉRENTS, alors le triangle n'est pas rectangle.

Exemple 1 : un triangle de côtés 6, 8 et 10. Le plus grand côté est 10. D'un côté : 10² = 100. De l'autre : 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Les deux valent 100, ils sont égaux : le triangle est donc rectangle. Exemple 2 : un triangle de côtés 4, 5 et 7. Le plus grand côté est 7. D'un côté : 7² = 49. De l'autre : 4² + 5² = 16 + 25 = 41. 41 et 49 sont différents : le triangle n'est PAS rectangle. Deux points essentiels.

D'abord, on compare TOUJOURS le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres : c'est pour cela qu'il faut bien identifier le plus grand côté au départ. Ensuite, conclure « pas rectangle » est une vraie conclusion valable : montrer que l'égalité n'est pas vérifiée prouve l'absence d'angle droit.

Le cours

La réciproque du théorème de Pythagore est l'outil qui permet de démontrer qu'un triangle EST rectangle à partir de la connaissance de ses trois longueurs (et lorsque l'égalité n'est pas vérifiée, c'est la CONTRAPOSÉE du théorème direct qui permet de conclure qu'il ne l'est pas). Elle complète le théorème direct, qui lui sert à calculer une longueur dans un triangle déjà connu comme rectangle. L'énoncé est : si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle (et l'angle droit est l'angle opposé au plus grand côté).

La rédaction se fait en étapes. On repère d'abord le plus grand côté des trois. On calcule ensuite, d'une part, le carré de ce plus grand côté et, d'autre part, la somme des carrés des deux autres côtés.

On compare enfin les deux résultats. S'ils sont égaux, on conclut, en citant la réciproque, que le triangle est rectangle. S'ils sont différents, on conclut que le triangle n'est pas rectangle.

Exemple où c'est rectangle : pour un triangle de côtés 6, 8 et 10, on a d'une part 10² = 100, d'autre part 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ; comme les deux sont égaux, le triangle est rectangle. Exemple où ce n'est pas rectangle : pour un triangle de côtés 4, 5 et 7, on a d'une part 7² = 49, d'autre part 4² + 5² = 16 + 25 = 41 ; comme 49 ≠ 41, le triangle n'est pas rectangle. Le point capital de la méthode est qu'on compare toujours le carré du PLUS GRAND côté à la somme des carrés des deux autres : choisir le bon côté est indispensable, car c'est lui qui jouerait le rôle d'hypoténuse.

Enfin, il faut retenir qu'établir que l'égalité n'est pas vérifiée constitue une réponse complète : cela prouve que le triangle n'a pas d'angle droit.

Les erreurs fréquentes

Comparer le carré d'un côté quelconque au lieu du plus grand : pour 6, 8, 10, comparer 6² avec 8² + 10².

On compare toujours le carré du PLUS GRAND côté à la somme des carrés des deux autres. Ici le plus grand côté est 10 : on compare 10² = 100 avec 6² + 8² = 100. Ils sont égaux, le triangle est rectangle.

Croire qu'on ne peut conclure que si le triangle est rectangle, et rester bloqué quand les nombres sont différents.

Si le carré du plus grand côté est différent de la somme des carrés des deux autres, la contraposée du théorème de Pythagore permet de conclure que le triangle n'est PAS rectangle. C'est une conclusion valable (ex. 4, 5, 7 : 49 ≠ 41, donc pas rectangle).

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer le plus grand des trois côtés (le candidat hypoténuse) avant de comparer.
• Comparer le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres côtés.
• Conclure correctement : égalité vérifiée → triangle rectangle ; égalité non vérifiée → triangle non rectangle (ex. 6,8,10 rectangle ; 4,5,7 non).

Vérifie que tu as compris

1. Un triangle a pour côtés 6, 8 et 10. Est-il rectangle ?

   Réponse Oui, car 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²

   6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². L'égalité de Pythagore est vérifiée : par la réciproque, le triangle est rectangle, et l'angle droit est celui opposé au côté de 10. Des côtés entiers ne prouvent rien (2, 3, 4 sont entiers et ne forment pas un triangle rectangle), et ce sont les CARRÉS qu'il faut comparer, jamais les longueurs elles-mêmes.

2. Un triangle a pour côtés 4, 5 et 7. Est-il rectangle ?

   Réponse Non, car 4² + 5² = 41 alors que 7² vaut 49

   4² + 5² = 16 + 25 = 41, alors que 7² = 49 : l'égalité n'est pas vérifiée. C'est la contraposée du théorème de Pythagore qui permet alors de conclure que le triangle n'est PAS rectangle — et c'est bien une conclusion, il n'y a pas besoin de connaître un angle. Être le plus grand côté ne fait pas de 7 une hypoténuse.

3. Pour vérifier si un triangle de côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm est rectangle, on compare :

   Réponse 13² et 5² + 12²

   On compare le carré du plus grand côté (13²) à la somme des carrés des deux autres : 5² + 12² = 169 = 13², donc il est rectangle.