Le cosinus d'un angle aigu

En une phrase

Le cosinus d'un angle aigu, c'est un nombre qu'on obtient en divisant le côté adjacent à l'angle par l'hypoténuse. Tu retiens « CAH » : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse.

Comprendre

Le cosinus, c'est un outil qui relie un angle aigu d'un triangle rectangle à deux de ses côtés. Pour t'en servir, tu dois d'abord bien repérer les côtés. L'hypoténuse est le plus long côté : c'est celui qui est opposé à l'angle droit.

Le côté adjacent à l'angle, lui, c'est le côté qui touche cet angle aigu (sans être l'hypoténuse). Une fois que tu les as repérés, le cosinus de l'angle est simplement le rapport : côté adjacent divisé par hypoténuse. Pour ne pas mélanger, retiens le moyen mnémotechnique « CAH » : Cosinus = Adjacent / Hypoténuse.

Comme le côté adjacent est toujours plus court que l'hypoténuse, le cosinus d'un angle aigu est toujours un nombre compris entre 0 et 1. Prends un exemple : dans un triangle rectangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5, l'hypoténuse vaut 5 (le plus grand). Si tu t'intéresses à l'angle dont le côté adjacent mesure 4, alors cos de cet angle = 4/5 = 0,8. Le cosinus est donc un nombre, pas une longueur. Il te sert plus tard à retrouver un angle ou une longueur dans un triangle rectangle, quand Pythagore ne suffit pas.

Le cours

Le cosinus d'un angle aigu se définit dans un triangle rectangle. Avant tout, il faut savoir nommer les côtés par rapport à l'angle aigu choisi. L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est toujours le plus long côté du triangle rectangle.

Le côté adjacent à l'angle aigu est le côté qui forme cet angle avec l'hypoténuse, c'est-à-dire celui qui le touche sans être l'hypoténuse. Le troisième côté, opposé à l'angle, est appelé côté opposé (il n'intervient pas dans le cosinus). Le cosinus de l'angle aigu est alors le rapport entre la longueur du côté adjacent et la longueur de l'hypoténuse : cosinus = côté adjacent / hypoténuse.

Le moyen mnémotechnique « CAH » résume cette formule : Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse. Le cosinus est un nombre sans unité (un rapport de deux longueurs), et non une longueur. Comme dans un triangle rectangle l'hypoténuse est toujours le plus grand côté, le côté adjacent est plus court qu'elle : le cosinus d'un angle aigu est donc toujours strictement compris entre 0 et 1. Exemple : dans un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, l'hypoténuse mesure 5. Pour l'angle dont le côté adjacent mesure 4, on a cos = 4/5 = 0,8. Connaître le cosinus permet, dans les classes suivantes, de calculer un angle aigu ou une longueur manquante dans un triangle rectangle, en complément du théorème de Pythagore.

Les erreurs fréquentes

On confond le côté adjacent avec l'hypoténuse, ou on prend le côté opposé à l'angle pour calculer le cosinus.

Pour le cosinus, c'est toujours le côté adjacent (celui qui touche l'angle aigu) divisé par l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, le plus long) : cos = adjacent / hypoténuse.

On pense que le cosinus est une longueur, ou qu'il peut être plus grand que 1.

Le cosinus est un rapport de deux longueurs, donc un nombre sans unité. Comme l'adjacent est plus court que l'hypoténuse, le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) et le côté adjacent à un angle aigu dans un triangle rectangle.
• Écrire et utiliser la formule du cosinus : cosinus = côté adjacent / hypoténuse (CAH).
• Savoir que le cosinus d'un angle aigu est un nombre compris entre 0 et 1 et le calculer sur un exemple (ex. 4/5 = 0,8).

Vérifie que tu as compris

1. Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à :

   Réponse adjacent / hypoténuse

   cosinus = côté adjacent / hypoténuse (CAH dans SOH-CAH-TOA).

2. Dans le cosinus d'un angle aigu d'un triangle rectangle, quel côté est TOUJOURS au dénominateur ?

   Réponse l'hypoténuse

   cos = côté adjacent / hypoténuse : le côté adjacent est au numérateur, l'hypoténuse toujours au dénominateur. C'est ce qui explique qu'un cosinus d'angle aigu soit toujours compris entre 0 et 1 : l'hypoténuse est le plus grand côté du triangle rectangle, jamais le plus petit.

3. Un angle aigu d'un triangle rectangle mesure 60° et son hypoténuse mesure 10 cm. Sachant que cos 60° = 0,5, le côté adjacent à cet angle mesure :

   Réponse 5 cm

   cos = adjacent / hypoténuse, donc adjacent = hypoténuse × cos 60° = 10 × 0,5 = 5 cm. Diviser par 0,5 donnerait 20 cm, plus long que l'hypoténuse : impossible.