Le théorème de Pythagore

En une phrase

Le théorème de Pythagore dit que, dans un triangle rectangle, le carré du plus grand côté (l'hypoténuse) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si le triangle est rectangle en A : BC² = AB² + AC².

Comprendre

Le théorème de Pythagore est une propriété qui ne fonctionne que dans les triangles rectangles, c'est-à-dire ceux qui possèdent un angle droit. La première chose à savoir repérer est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, autrement dit le côté qui ne touche pas le sommet de l'angle droit. C'est aussi toujours le plus grand côté du triangle.

Le théorème relie alors les longueurs des trois côtés par une égalité : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (les deux côtés de l'angle droit). « Mettre au carré » une longueur, c'est la multiplier par elle-même. Par exemple, dans un triangle rectangle en A, l'angle droit est en A, donc l'hypoténuse est le côté BC, le côté opposé à A. Le théorème s'écrit : BC² = AB² + AC². Cela signifie que si tu connais deux des longueurs, tu peux retrouver la troisième.

Le sens de l'égalité est important : c'est toujours le carré de l'hypoténuse, le grand côté, qui est tout seul d'un côté du signe « = », et la somme des carrés des deux autres côtés de l'autre côté. Repérer correctement l'angle droit, puis l'hypoténuse, est donc l'étape décisive avant d'écrire l'égalité. C'est ce théorème qui permettra ensuite de calculer une longueur manquante.

Le cours

Le théorème de Pythagore est l'un des résultats les plus importants de la géométrie du collège. Il ne s'applique qu'aux triangles rectangles, c'est-à-dire aux triangles possédant un angle droit. Dans un tel triangle, on distingue un côté particulier : l'hypoténuse.

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est le côté qui ne forme pas l'angle droit et c'est toujours le plus grand des trois côtés. Les deux autres côtés sont appelés les côtés de l'angle droit. Le théorème énonce une égalité entre les longueurs : le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Mettre une longueur au carré signifie la multiplier par elle-même. Par exemple, considérons un triangle ABC rectangle en A. L'angle droit est au sommet A, donc l'hypoténuse, opposée à A, est le côté BC. Le théorème de Pythagore s'écrit alors : BC² = AB² + AC².

De la même façon, si un triangle est rectangle en B, l'hypoténuse est AC et l'égalité devient AC² = AB² + BC². Pour écrire correctement l'égalité, il faut donc d'abord repérer l'angle droit, puis nommer l'hypoténuse (le côté opposé) : son carré est seul d'un côté de l'égalité, la somme des carrés des deux autres côtés étant de l'autre côté. Ce théorème est fondamental, car il relie l'existence d'un angle droit aux longueurs des côtés et permet ainsi de calculer une longueur inconnue dès que les deux autres sont connues.

Les erreurs fréquentes

On prend n'importe quel côté comme hypoténuse, par exemple un côté de l'angle droit.

L'hypoténuse est toujours le côté opposé à l'angle droit (le plus grand côté). Dans un triangle rectangle en A, l'hypoténuse est BC, jamais AB ni AC.

On applique le théorème de Pythagore dans un triangle quelconque, qui n'a pas d'angle droit.

Le théorème de Pythagore ne s'applique que dans un triangle rectangle : il faut d'abord vérifier la présence d'un angle droit avant d'écrire l'égalité.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer le théorème : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
• Repérer l'hypoténuse comme le côté opposé à l'angle droit (le plus grand côté).
• Écrire correctement l'égalité de Pythagore pour un triangle donné (ex. rectangle en A : BC² = AB² + AC²).

Vérifie que tu as compris

1. Dans un triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore s'écrit :

   Réponse BC² = AB² + AC²

   BC est l'hypoténuse (opposée à l'angle droit en A) : son carré égale la somme des carrés des deux autres côtés.

2. Dans un triangle rectangle, le côté le plus long s'appelle :

   Réponse l'hypoténuse

   L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit ; c'est toujours le plus long du triangle rectangle.

3. Le théorème de Pythagore s'applique dans quel type de triangle ?

   Réponse Uniquement dans un triangle rectangle

   Le théorème relie les carrés des côtés grâce à l'angle droit : sans angle droit, l'égalité BC² = AB² + AC² est fausse. On le réserve donc aux triangles rectangles.