Valeur exacte, valeur approchée et encadrement

En une phrase

Certaines racines ne « tombent pas juste » : √2 vaut environ 1,414, mais sa valeur exacte reste √2. Pour situer une racine, on l'encadre entre deux entiers : 3 < √10 < 4, car 3² = 9 < 10 < 16 = 4².

Comprendre

Toutes les racines carrées ne donnent pas un entier. Quand le nombre sous la racine n'est pas un carré parfait, sa racine carrée n'est pas un nombre « rond ». Prenons √2 : il n'existe aucun entier ni décimal simple dont le carré vaut exactement 2. La calculatrice affiche 1,414… mais ce n'est qu'une valeur APPROCHÉE : 1,414² = 1,999396, pas tout à fait 2. La valeur EXACTE, elle, s'écrit simplement √2 : c'est le nombre dont le carré vaut précisément 2. Pour se faire une idée de la taille d'une telle racine, on l'ENCADRE entre deux entiers consécutifs à l'aide des carrés parfaits qui l'entourent.

Exemple : où se situe √10 ? On repère les carrés parfaits juste en dessous et juste au-dessus de 10 : 9 = 3² et 16 = 4². Comme 9 < 10 < 16, on a 3² < 10 < 4², donc 3 < √10 < 4. La racine √10 est donc comprise entre 3 et 4 (elle vaut environ 3,16).

Retenir : une valeur approchée (1,414) n'est pas la valeur exacte (√2) ; et pour encadrer √n, on cherche les deux carrés parfaits qui encadrent n.

Le cours

Lorsque le nombre ENTIER placé sous la racine n'est pas un carré parfait, sa racine carrée n'est ni un entier ni un décimal exact. Ainsi √2 ne vaut pas 1,4 ni 1,414 exactement : ces nombres n'en sont que des valeurs APPROCHÉES (1,414² = 1,999396 ≈ 2, mais pas égal à 2). La valeur EXACTE se note √2 : c'est, par définition, le nombre positif dont le carré vaut 2. Écrire √2 est donc plus précis qu'écrire 1,414. Pour estimer la taille d'une racine non entière, on l'encadre entre deux entiers consécutifs grâce aux carrés parfaits.

Méthode : pour encadrer √10, on cherche le carré parfait immédiatement inférieur à 10 et celui immédiatement supérieur, ici 9 = 3² et 16 = 4². De 9 < 10 < 16 on déduit 3² < 10 < 4², puis, en passant à la racine (qui conserve l'ordre pour les nombres positifs), 3 < √10 < 4. Donc √10 est compris entre 3 et 4 (valeur approchée ≈ 3,16). De même, 4 < √20 < 5 car 16 < 20 < 25. Cette distinction entre valeur exacte et valeur approchée, et cette technique d'encadrement, sont essentielles pour raisonner sans calculatrice et pour donner des résultats justes, notamment avec le théorème de Pythagore.

Les erreurs fréquentes

On écrit que la valeur exacte de √2 est 1,414.

1,414 est une valeur APPROCHÉE (1,414² = 1,999396 ≈ 2). La valeur EXACTE reste √2, le nombre dont le carré vaut exactement 2.

Pour encadrer √10, on prend 5 et 6 (moitié de 10), ou n'importe quels entiers.

On utilise les carrés parfaits voisins : 9 = 3² et 16 = 4². Comme 9 < 10 < 16, on a 3 < √10 < 4.

Tu maîtrises la notion si…

• Distinguer valeur exacte (√2) et valeur approchée (≈ 1,414) d'une racine carrée.
• Encadrer une racine entre deux entiers consécutifs à l'aide des carrés parfaits (3 < √10 < 4).
• Justifier l'encadrement par les carrés : 3² = 9 < 10 < 16 = 4².

Vérifie que tu as compris

1. Entre quels deux entiers consécutifs se trouve √10 ?

   Réponse 3 et 4

   3² = 9 < 10 < 16 = 4², donc 3 < √10 < 4 (√10 ≈ 3,16). On encadre avec les carrés parfaits voisins.

2. Quelle est la valeur EXACTE de √5 ?

   Réponse √5

   2,236 et 2,2 ne sont que des valeurs approchées (2,236² ≈ 4,9997 et 2,2² = 4,84, jamais 5 exactement). Le nombre 5, lui, est le radicande, pas la racine. La valeur exacte reste √5, le nombre positif dont le carré vaut 5.

3. À la calculatrice on lit √3 ≈ 1,732. Que représente ce nombre 1,732 ?

   Réponse Une valeur approchée de √3

   1,732² = 2,999824, ce n'est pas exactement 3 : la calculatrice affiche un arrondi. La valeur exacte s'écrit √3, d'où l'écriture √3 ≈ 1,732 avec le signe ≈.