Propriétés de la racine carrée
√(9 + 16), est-ce 5 ou 7 ?
En une phrase
On peut regrouper des racines qui se multiplient : √a × √b = √(a × b). Par exemple √2 × √8 = √16 = 4. Attention au piège : ça ne marche PAS avec une addition, car √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
L'idée à retenir
La racine d'un produit est le produit des racines : √a × √b = √(a × b), donc √2 × √8 = √16 = 4. Mais la racine ne se distribue PAS sur une somme : √(9 + 16) = √25 = 5, pas 3 + 4 = 7.
Comprendre
La racine carrée possède une propriété très utile, mais uniquement avec la MULTIPLICATION. Pour deux nombres positifs a et b, la racine d'un produit est le produit des racines : √a × √b = √(a × b). Cela permet de simplifier des calculs.
Exemple : √2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4. On peut aussi lire la règle dans l'autre sens : √(9 × 4) = √9 × √4 = 3 × 2 = 6, ce qui est bien √36 = 6. De la définition découle aussi √(a²) = a : la racine annule le carré (√(5²) = √25 = 5). ATTENTION au piège majeur : cette propriété ne fonctionne PAS avec l'addition. En général, √(a + b) n'est PAS égal à √a + √b.
Contre-exemple à connaître : √(9 + 16) = √25 = 5, tandis que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Comme 5 ≠ 7, on voit qu'on ne peut pas « distribuer » la racine sur une somme. À retenir donc : la racine se répartit sur un produit (√a × √b = √(ab)), mais jamais sur une somme.
Le cours
Deux propriétés organisent le calcul avec les racines carrées. Première propriété : la racine carrée d'un produit est le produit des racines carrées. Pour a ≥ 0 et b ≥ 0, √a × √b = √(a × b).
Elle sert dans les deux sens. On peut regrouper : √2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4. On peut aussi séparer : √(9 × 4) = √9 × √4 = 3 × 2 = 6 (et l'on vérifie √36 = 6). Seconde propriété, conséquence de la définition : √(a²) = a pour a ≥ 0 (la racine défait le carré).
Il faut en revanche se méfier d'un piège fréquent : la racine carrée ne se distribue PAS sur une addition. En général √(a + b) ≠ √a + √b. Le contre-exemple de référence est √(9 + 16) : d'un côté √(9 + 16) = √25 = 5 ; de l'autre √9 + √16 = 3 + 4 = 7 ; et 5 ≠ 7. On ne peut donc jamais « couper » une racine d'une somme en somme de racines.
Bilan : √(a × b) = √a × √b (autorisé), mais √(a + b) ≠ √a + √b (interdit). Ces règles simplifient les écritures et évitent des erreurs classiques, y compris dans les calculs de longueurs avec Pythagore.
Vois cette notion fonctionner : la scène animée, plan par plan →
Les erreurs fréquentes
- On distribue la racine sur une somme : √(9 + 16) = √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
- La racine ne se distribue pas sur une addition : √(9 + 16) = √25 = 5, et 5 ≠ 7.
- On calcule √2 × √8 en multipliant les résultats approchés, ou on croit que ça ne se simplifie pas.
- On regroupe le produit : √2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4.
Tu maîtrises la notion si…
- Appliquer √a × √b = √(a × b) pour simplifier (√2 × √8 = √16 = 4).
- Utiliser √(a²) = a (√(5²) = 5).
- Savoir que √(a + b) ≠ √a + √b (contre-exemple √(9 + 16) = 5 ≠ 7).
Vérifie que tu as compris
Que vaut √2 × √8 ?
Réponse 4
√2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4 (la racine se répartit sur un produit). Ce n'est pas √10 (on ne additionne pas), ni 16 (on garde la racine).
Que vaut √(9 + 16) ?
Réponse 5
On calcule d'abord sous la racine : 9 + 16 = 25, puis √25 = 5. Ce n'est pas 3 + 4 = 7 : la racine ne se distribue pas sur une somme.
Sans calculatrice, à quel nombre entier est égal le produit √36 × √4 ?
Réponse 12
√36 = 6 et √4 = 2, donc √36 × √4 = 6 × 2 = 12. On peut aussi écrire √36 × √4 = √(36 × 4) = √144 = 12 : la racine se répartit sur un PRODUIT.
S'entraîner sur cette notion
La scène s'anime pas à pas, la mascotte t'explique, puis tu t'entraînes. Gratuit pour commencer.
Ouvrir cette scène dans Azulma →Les quatre étapes pour maîtriser cette notion
√a × √b = √(a × b) est toujours vraie (pour a ≥ 0 et b ≥ 0).
Aucune égalité de ce type avec une somme.
√2 × √8 = √16 = 4.
On regroupe sous une seule racine.
√(9 + 16) = √25 = 5, pas 3 + 4.
On calcule d'abord ce qui est sous la racine.
√9 × √4 = 3 × 2 = 6 et √36 = 6.
La racine se répartit sur un produit.