Le carré et la racine carrée

En une phrase

La racine carrée de a, c'est le nombre positif qui, élevé au carré, redonne a. Par exemple √9 = 3 car 3² = 9. Les nombres 0, 1, 4, 9, 16, 25… sont des carrés parfaits. Attention : √9 n'est PAS 9 ÷ 2 = 4,5.

Comprendre

La racine carrée est l'opération « inverse » du carré. Élever au carré, c'est multiplier un nombre par lui-même : 3² = 3 × 3 = 9. Prendre la racine carrée, c'est faire le chemin inverse : à partir de 9, retrouver le nombre positif dont le carré vaut 9, c'est-à-dire 3. On écrit √9 = 3. Plus généralement, pour a ≥ 0, √a désigne le nombre POSITIF dont le carré vaut a ; on a donc (√a)² = a et √(a²) = a. Les nombres 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144… sont des CARRÉS PARFAITS : ce sont les carrés des entiers (0², 1², 2², 3²…), et leur racine carrée est un entier.

Ainsi √25 = 5 (car 5² = 25), √144 = 12 (car 12² = 144), √0 = 0 et √1 = 1. Deux pièges à éviter. La racine carrée n'est pas une division par 2 : √9 = 3 et non 4,5. Et un nombre négatif n'a pas de racine carrée, car un carré n'est jamais négatif. Connaître par cœur les premiers carrés parfaits rend le calcul des racines immédiat ; c'est la base de tout le chapitre.

Le cours

La racine carrée est l'opération réciproque de l'élévation au carré. Pour un nombre a positif ou nul (a ≥ 0), la racine carrée de a, notée √a, est le nombre POSITIF dont le carré est égal à a. Autrement dit, √a est le nombre positif tel que (√a)² = a.

Comme 3² = 9, on a √9 = 3 ; comme 5² = 25, on a √25 = 5. De la définition découle aussi √(a²) = a : la racine carrée « annule » le carré. Les carrés parfaits sont les carrés des entiers : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144… Leur racine carrée est un entier, ce qui rend le calcul immédiat : √0 = 0, √1 = 1, √49 = 7, √100 = 10, √144 = 12. Deux erreurs sont à proscrire. D'abord, la racine carrée n'est pas une division par 2 : √9 vaut 3 (car 3 × 3 = 9), pas 4,5. Ensuite, un nombre strictement négatif n'a pas de racine carrée, car le carré d'un nombre est toujours positif ou nul.

Cette notion, qui prolonge le travail sur les carrés vus au cycle 3, ouvre le chapitre : elle servira à retrouver le côté d'un carré à partir de son aire, à encadrer les racines qui ne « tombent pas juste », à utiliser les propriétés de la racine carrée, puis à calculer une hypoténuse avec le théorème de Pythagore.

Les erreurs fréquentes

On calcule √9 comme 9 ÷ 2 = 4,5.

√9 est le nombre dont le CARRÉ vaut 9 : comme 3² = 9, on a √9 = 3 (et non 4,5).

On pense qu'un nombre négatif a une racine carrée, ou que √a peut être négatif.

√a désigne le nombre POSITIF dont le carré vaut a ; un nombre négatif n'a pas de racine carrée car un carré n'est jamais négatif.

Tu maîtrises la notion si…

• Donner la définition : √a est le nombre positif dont le carré vaut a (a ≥ 0).
• Calculer la racine carrée d'un carré parfait (√9 = 3, √25 = 5, √144 = 12).
• Distinguer la racine carrée d'une division par 2 (√9 = 3, pas 4,5).

Vérifie que tu as compris

1. Que vaut √9 ?

   Réponse 3

   √9 = 3 car 3² = 3 × 3 = 9. Ce n'est pas 9 ÷ 2 = 4,5, ni 9² = 81.

2. Que vaut √144 ?

   Réponse 12

   √144 = 12 car 12² = 144. On n'obtient pas 72 (ce serait 144 ÷ 2, pas une racine carrée).

3. Quel nombre positif a pour carré 64 ?

   Réponse 8

   On cherche le nombre dont le carré vaut 64 : c'est 8, car 8² = 8 × 8 = 64. On le note √64. Les pièges classiques sont 64 ÷ 2 = 32 et 64² = 4 096.