Racine carrée et théorème de Pythagore

En une phrase

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse (le plus grand côté, face à l'angle droit) se calcule avec √(a² + b²). Par exemple, avec des côtés de 3 et 4 : hypoténuse = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Comprendre

La racine carrée sert directement à calculer une longueur en géométrie, grâce au théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, si a et b sont les deux côtés de l'angle droit et c l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, toujours le plus long), alors c² = a² + b². Cette égalité donne le CARRÉ de l'hypoténuse ; pour obtenir l'hypoténuse elle-même, on prend la racine carrée : c = √(a² + b²).

La démarche a trois étapes. 1) On met chaque côté au carré. 2) On additionne les deux carrés. 3) On prend la racine carrée du total. Exemple : côtés 3 et 4. On calcule 3² = 9 et 4² = 16, on additionne 9 + 16 = 25, puis c = √25 = 5. L'hypoténuse mesure 5. Autre exemple : côtés 6 et 8. Alors c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Attention à ne pas oublier la racine finale : a² + b² donne le carré de l'hypoténuse, pas l'hypoténuse. Et rappelle-toi que √(a² + b²) n'est pas a + b : ici √25 = 5, pas 3 + 4 = 7. C'est l'aboutissement du chapitre : la racine carrée transforme une aire (a² + b²) en une longueur.

Le cours

Le théorème de Pythagore relie les trois côtés d'un triangle rectangle et fait intervenir la racine carrée. Dans un triangle rectangle, notons a et b les longueurs des deux côtés de l'angle droit, et c la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, qui est le plus long). Le théorème affirme que c² = a² + b².

Cette relation donne le carré de l'hypoténuse ; pour trouver l'hypoténuse elle-même, on applique la racine carrée : c = √(a² + b²). La méthode comporte trois étapes : élever chaque côté au carré, additionner les deux carrés, puis prendre la racine carrée du résultat. Exemple 1 : avec a = 3 et b = 4, on a c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 ; l'hypoténuse mesure 5. Exemple 2 : avec a = 6 et b = 8, c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. Deux vigilances.

D'abord, ne pas s'arrêter à a² + b² : ce nombre est le carré de l'hypoténuse, il faut encore prendre la racine. Ensuite, ne pas confondre √(a² + b²) avec a + b : la racine ne se distribue pas sur une somme (√25 = 5, pas 7). Ce calcul, qui réunit carrés, somme et racine carrée, est central au collège et sera très utilisé au brevet.

Les erreurs fréquentes

On s'arrête à a² + b² : pour des côtés 3 et 4, on annonce une hypoténuse de 25.

a² + b² est le CARRÉ de l'hypoténuse. Il faut prendre la racine : c = √25 = 5.

On additionne directement les côtés : hypoténuse = 3 + 4 = 7.

On additionne les CARRÉS puis on prend la racine : √(3² + 4²) = √25 = 5 (et √(a² + b²) ≠ a + b).

Tu maîtrises la notion si…

• Écrire la longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle : c = √(a² + b²).
• Calculer une hypoténuse (côtés 3 et 4 → √25 = 5 ; côtés 6 et 8 → √100 = 10).
• Ne pas oublier la racine finale et savoir que √(a² + b²) ≠ a + b.

Vérifie que tu as compris

1. Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 3 et 4. Quelle est la longueur de son hypoténuse ?

   Réponse 5

   Hypoténuse = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Ce n'est pas 3 + 4 = 7, ni 25 (qui est le carré de l'hypoténuse).

2. Un triangle rectangle a une hypoténuse de 13 cm et un côté de l'angle droit de 5 cm. Quelle est la longueur du troisième côté ?

   Réponse 12 cm

   Le côté cherché c vérifie 5² + c² = 13², donc c² = 169 − 25 = 144 et c = √144 = 12 cm. Quand on cherche un côté de l'angle droit, on SOUSTRAIT les carrés : additionner donnerait √(169 + 25) = √194, et calculer 13 − 5 = 8 (ou 13 + 5 = 18) revient à oublier les carrés.

3. Dans un triangle rectangle, on a obtenu BC² = 40. Quelle est la longueur exacte de BC ?

   Réponse √40

   BC est une longueur positive dont le carré vaut 40 : BC = √40. C'est la valeur exacte ; 6,32 n'en est qu'un arrondi, et 40 est le carré de BC, pas BC.