Racine carrée et aire d'un carré

En une phrase

Si un carré a un côté c, son aire vaut c². Donc si on connaît l'aire A d'un carré, le côté est √A. Par exemple, un carré d'aire 49 a pour côté √49 = 7, et un carré d'aire 100 a pour côté √100 = 10.

Comprendre

La racine carrée a un sens géométrique très concret : elle relie l'aire d'un carré à son côté. L'aire d'un carré de côté c est A = c × c = c². Cette formule se lit dans les deux sens.

Dans un sens, si je connais le côté, l'aire est le côté au carré : côté 7 → aire 7² = 49. Dans l'autre sens, si je connais l'aire, le côté est la racine carrée de l'aire : aire 49 → côté √49 = 7. C'est exactement pour cela que l'on parle de racine « carrée » : elle défait le carré et redonne le côté du carré. Ainsi un carré d'aire 100 a pour côté √100 = 10, et un carré d'aire 25 a pour côté √25 = 5. Attention à ne pas confondre l'aire et le périmètre : le côté n'est pas l'aire divisée par 4 (ça, c'est le lien avec le périmètre), mais bien la racine carrée de l'aire. Cette image du carré aide à comprendre pourquoi la racine carrée est l'opération inverse du carré, et donne du sens aux calculs de racines.

Le cours

L'aire d'un carré et la racine carrée sont deux faces d'une même relation. Pour un carré de côté c, l'aire vaut A = c². Cette égalité se lit dans les deux sens : connaissant le côté, on obtient l'aire en élevant au carré (côté 7 → aire 49) ; connaissant l'aire, on retrouve le côté en prenant la racine carrée (aire 49 → côté √49 = 7).

La racine carrée est donc l'outil géométrique qui, à partir de l'aire d'un carré, redonne la longueur de son côté : c = √A. Exemples : un carré d'aire 100 cm² a un côté de √100 = 10 cm ; un carré d'aire 25 cm² a un côté de √25 = 5 cm ; un carré d'aire 49 m² a un côté de 7 m. Ce point de vue explique le nom de « racine carrée » : elle défait l'opération « mettre au carré ».

Une confusion fréquente consiste à diviser l'aire par 4 (ou par 2) pour trouver le côté : c'est faux, on doit prendre la racine carrée. Ce sens géométrique éclaire tout le chapitre et prépare notamment le théorème de Pythagore, où l'on remonte d'une aire (a² + b²) à une longueur (l'hypoténuse) par une racine carrée.

Les erreurs fréquentes

Pour un carré d'aire 49, on donne un côté de 49 ÷ 4 ≈ 12,25 (confusion avec le périmètre).

Le côté est la racine carrée de l'aire : √49 = 7 (car 7² = 49), pas l'aire divisée par 4.

On confond aire et côté : on dit que le carré d'aire 49 a un côté de 49.

Un côté de 49 donnerait une aire de 49² = 2401. Le côté cherché est √49 = 7.

Tu maîtrises la notion si…

• Relier l'aire d'un carré à son côté : A = c² et c = √A.
• Déterminer le côté d'un carré à partir de son aire (aire 49 → côté 7).
• Éviter la confusion aire/périmètre (le côté n'est pas l'aire ÷ 4).

Vérifie que tu as compris

1. Un carré a une aire de 49 cm². Quelle est la longueur de son côté ?

   Réponse 7 cm

   Le côté est la racine carrée de l'aire : √49 = 7 cm, car 7² = 49. Diviser par 4 (12,25) ou par 2 (24,5) serait une erreur.

2. On carrelle une terrasse carrée de 81 m² avec des dalles carrées de 1 m². Combien de dalles y a-t-il sur un côté ?

   Réponse 9 dalles

   Le côté c de la terrasse vérifie c × c = 81, donc c = √81 = 9 : il y a 9 dalles sur chaque côté (et 9 × 9 = 81 dalles en tout). 81 est le nombre TOTAL de dalles, pas le nombre par côté ; diviser par 2 (40,5) ou doubler (18) ne redonne pas 81 une fois le nombre multiplié par lui-même.

3. Un carré de 6 cm de côté a pour aire 36 cm². Quelle opération permet de refaire le chemin inverse, de l'aire vers le côté ?

   Réponse Prendre la racine carrée de l'aire

   L'aire d'un carré est le carré de son côté : 6² = 36. Pour revenir au côté, on prend donc la racine carrée de l'aire : √36 = 6 cm.