Valeur exacte, valeur approchée et applications

L'essentiel

Une racine comme √2 ou √20 est un nombre bien réel, mais son écriture décimale ne « tombe » jamais juste : √2 = 1,41421356… (une suite infinie de décimales qui ne se répètent pas). On dit que √2 est la VALEUR EXACTE, et que 1,414 est une VALEUR APPROCHÉE (arrondie). Les deux ne sont pas égales : 1,414² = 1,999396, pas exactement 2. RÈGLE EN GÉOMÉTRIE : on garde la valeur EXACTE (avec le symbole racine, simplifiée si possible), sauf si l'énoncé demande explicitement un arrondi.

APPLICATION 1 — aire d'un carré. Un carré d'aire 20 cm² a un côté c tel que c² = 20, donc c = √20. On simplifie : √20 = √(4 × 5) = 2√5 cm. La valeur exacte du côté est 2√5 cm (≈ 4,47 cm si on veut une idée de la taille).

APPLICATION 2 — théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle de côtés de l'angle droit 2 et 4, l'hypoténuse vaut c = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5. On retrouve la même racine, qu'on laisse sous forme exacte 2√5. BILAN DU CHAPITRE : on est parti de √a, on a résolu x² = a, on a appris à simplifier une racine, et on s'en sert maintenant pour donner des longueurs EXACTES.

Comprendre

√2 (ou √20) est la VALEUR EXACTE d'un nombre irrationnel : ses décimales sont infinies et non périodiques. 1,414 n'est qu'une valeur APPROCHÉE de √2 (1,414² ≈ 1,999, pas 2). Règle : en géométrie on conserve la valeur exacte, simplifiée, et on n'arrondit que sur demande. Deux applications réinvestissent tout le chapitre : (1) l'AIRE — un carré d'aire 20 cm² a pour côté √20 = 2√5 cm (on relie c² = A à c = √A, puis on simplifie) ; (2) PYTHAGORE — une hypoténuse √(2² + 4²) = √20 = 2√5 se simplifie de la même façon.

L'erreur typique est de remplacer trop tôt la racine par un arrondi (écrire côté = 4,47 cm au lieu de 2√5 cm) : on perd la valeur exacte et on introduit une imprécision. On garde √20 = 2√5 comme réponse, et 4,47 seulement comme ordre de grandeur ou si l'énoncé réclame « arrondi au centième ». Ce concept referme le chapitre en mobilisant la définition (√a), la simplification (2√5) et le sens géométrique.

Le cours

VALEUR EXACTE ET VALEUR APPROCHÉE. Beaucoup de racines carrées sont des nombres IRRATIONNELS : leur écriture décimale est infinie et ne se répète pas. Ainsi √2 = 1,41421356…, √5 = 2,2360679… La VALEUR EXACTE de ces nombres est leur écriture avec le radical : √2, √5, 2√5… Une VALEUR APPROCHÉE est un arrondi : √2 ≈ 1,414 (au millième).

Les deux ne sont pas égales : 1,414² = 1,999396 ≠ 2. RÈGLE. En calcul et en géométrie, on garde la VALEUR EXACTE (simplifiée), et on ne donne une valeur approchée que si l'énoncé le demande (« arrondir au centième »). APPLICATION 1 — AIRE D'UN CARRÉ.

Un carré d'aire A a un côté c tel que c² = A, donc c = √A. Pour A = 20 cm² : c = √20. On simplifie : √20 = √(4 × 5) = √4 × √5 = 2√5. Le côté vaut donc 2√5 cm (valeur exacte), soit environ 4,47 cm. APPLICATION 2 — THÉORÈME DE PYTHAGORE.

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse c vérifie c² = a² + b², donc c = √(a² + b²). Pour a = 2 et b = 4 : c = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5. La longueur exacte est 2√5 (≈ 4,47). On voit qu'une racine issue de Pythagore se simplifie comme les autres.

PIÈGE. Ne pas remplacer la racine par un arrondi trop tôt : côté = √20 = 2√5 cm est la réponse exacte ; 4,47 cm n'est qu'une approximation. À RETENIR : (1) √2 = valeur exacte, 1,414 = valeur approchée ; (2) côté d'un carré d'aire 20 = √20 = 2√5 cm ; (3) hypoténuse √(2² + 4²) = √20 = 2√5 ; (4) on garde la valeur exacte, on arrondit seulement si c'est demandé.

Les erreurs fréquentes

On écrit √2 = 1,414 comme si c'était une égalité exacte.

1,414 n'est qu'une valeur APPROCHÉE : 1,414² = 1,999396 ≠ 2. La valeur exacte est √2 (irrationnel). On écrit √2 ≈ 1,414, avec le symbole ≈.

On donne le côté d'un carré d'aire 20 comme 4,47 cm au lieu de 2√5 cm.

La valeur exacte est √20 = 2√5 cm ; on la garde sauf si un arrondi est demandé. 4,47 cm n'est qu'une valeur approchée du côté.

On oublie de simplifier la racine issue de Pythagore (√(2² + 4²) laissé en √20).

√20 se simplifie : √20 = √(4 × 5) = 2√5. La longueur exacte de l'hypoténuse s'écrit 2√5.

Tu maîtrises la notion si…

• Distinguer valeur exacte (√2, 2√5) et valeur approchée (1,414 ; 4,47) et n'arrondir que si l'énoncé le demande.
• Déterminer le côté d'un carré à partir de son aire en valeur exacte (aire 20 → côté √20 = 2√5 cm).
• Calculer et simplifier une longueur donnée par le théorème de Pythagore (√(2² + 4²) = √20 = 2√5).

Vérifie que tu as compris

1. Un carré a une aire de 20 cm². Quelle est la valeur exacte de son côté ?

   Réponse 2√5 cm

   Le côté vaut √aire = √20 = √(4 × 5) = 2√5 cm (valeur exacte). On vérifie : (2√5)² = 4 × 5 = 20. 4,47 cm n'est qu'une valeur approchée ; 10 cm = aire ÷ 2 est faux ; 5 cm donnerait une aire de 25 cm².

2. √2 vaut environ 1,414. Quelle affirmation est correcte ?

   Réponse √2 est la valeur exacte, 1,414 une approchée

   √2 est un nombre irrationnel : son écriture décimale est infinie et ne se répète pas. √2 est donc la valeur EXACTE, et 1,414 seulement une valeur approchée (arrondie). En géométrie, on garde √2 sauf si l'énoncé demande un arrondi.

3. La calculatrice affiche √11 = 3,316 624 79… Quelle est la valeur arrondie au dixième ?

   Réponse 3,3

   Arrondir au dixième, c'est ne garder qu'un seul chiffre après la virgule. On regarde le chiffre suivant : ici 1, dans 3,31…, qui est inférieur à 5, donc on arrondit par défaut à 3,3. La valeur 3,32 est l'arrondi au centième et 3 l'arrondi à l'unité. On écrit √11 ≈ 3,3 avec le symbole ≈, jamais =, car la valeur exacte reste √11.