Racine carrée : rappel express
√49, ça fait 7 ou 24,5 ?
L'essentiel
La RACINE CARRÉE d'un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a. Autrement dit, √a est le nombre qui, multiplié par lui-même, redonne a : √25 = 5 parce que 5 × 5 = 25, et √49 = 7 parce que 7 × 7 = 49. Quelques valeurs à avoir en tête : √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7 — ce sont les racines des CARRÉS PARFAITS (les carrés des entiers). Une règle très utile relie le carré et la racine : quand on met un nombre positif au carré puis qu'on prend la racine, on retombe sur le nombre de départ, c'est-à-dire √(a²) = a pour a ≥ 0. Par exemple √(7²) = √49 = 7. Deux pièges à éviter absolument : la racine carrée n'est PAS une division par 2 (√49 = 7, et surtout pas 49 ÷ 2 = 24,5), et √a est un SEUL nombre, toujours positif (√49 = 7, pas « ±7 »).
Ce rappel de la 4e sert de rampe de lancement : à partir de là, la 3e s'attaque à la vraie nouveauté, l'équation x² = a.
L'idée à retenir
√a (a ≥ 0) est le nombre POSITIF dont le carré vaut a : √25 = 5 car 5² = 25, √49 = 7 car 7² = 49. La racine annule le carré : √(a²) = a. Ce n'est pas une division par 2 (√49 = 7, pas 24,5), et c'est UN seul nombre positif (pas ±7). Rappel express de la 4e avant l'équation x² = a.
Comprendre
√a (pour a ≥ 0) est le nombre positif dont le carré vaut a : √25 = 5 car 5² = 25, √49 = 7 car 7² = 49. On mémorise les carrés parfaits des entiers de 0 à 12 : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 → racines 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. La propriété clé est que la racine « défait » le carré : √(a²) = a pour a ≥ 0 (√(6²) = 6). Deux confusions bloquent les élèves : (1) prendre √a pour a ÷ 2 (√49 donnerait 24,5) — non, on cherche le nombre dont le CARRÉ vaut a, pas sa moitié ; (2) écrire √49 = ±7 — non, la racine carrée est par définition le nombre POSITIF, donc √49 = 7 (un seul nombre). Cette dernière remarque est capitale pour la suite : elle distingue √a (un seul nombre positif) de la RÉSOLUTION de x² = a (qui, elle, pourra donner deux nombres opposés).
Ce concept n'est qu'un rappel express de la 4e ; il pose le vocabulaire et les réflexes avant d'aborder l'équation x² = a.
Le cours
DÉFINITION. Pour un nombre a positif ou nul, la racine carrée de a, notée √a, est le nombre POSITIF dont le carré est égal à a. On a donc, par définition, (√a)² = a et √a ≥ 0. Exemples : √25 = 5 (car 5² = 25), √49 = 7 (car 7² = 49), √0 = 0, √1 = 1. LES CARRÉS PARFAITS.
Un carré parfait est le carré d'un entier ; sa racine est entière. À connaître (automatisme du programme : les carrés des entiers de 0 à 12) : 1 = 1², 4 = 2², 9 = 3², 16 = 4², 25 = 5², 36 = 6², 49 = 7², 64 = 8², 81 = 9², 100 = 10², 121 = 11², 144 = 12². Les repérer permet de calculer une racine « de tête ».
LA RACINE ANNULE LE CARRÉ. Pour tout nombre a ≥ 0 : √(a²) = a. Par exemple √(7²) = √49 = 7 : inutile de développer 7² avant de prendre la racine, les deux opérations s'annulent.
DEUX PIÈGES. (1) La racine carrée n'est pas une division par 2 : √49 = 7, et non 49 ÷ 2 = 24,5. On cherche le nombre dont le carré vaut a, pas la moitié de a. (2) La racine carrée est un SEUL nombre, toujours positif : √49 = 7 (pas « ±7 »). Ne pas confondre avec l'équation x² = 49, qui admettra deux solutions (7 et −7) — c'est justement l'objet des concepts suivants. À RETENIR : (1) √a = le nombre positif dont le carré vaut a, avec √0 = 0, √1 = 1, √25 = 5, √49 = 7 ; (2) √(a²) = a pour a ≥ 0 ; (3) √a n'est ni a ÷ 2, ni « ±quelque chose » : c'est un seul nombre positif.
Vois cette notion fonctionner : la scène animée, plan par plan →
Les erreurs fréquentes
- On calcule √a comme a ÷ 2 (√49 = 24,5).
- La racine carrée cherche le nombre dont le CARRÉ vaut a, pas la moitié de a : √49 = 7 car 7² = 49. Diviser par 2 n'a rien à voir.
- On écrit √49 = ±7 (deux valeurs pour une racine).
- Par définition, √a est le nombre POSITIF dont le carré vaut a : √49 = 7 (un seul nombre). Les deux nombres ±7 sont les solutions de l'équation x² = 49, ce qui est différent.
- On croit que √(a²) demande de calculer a² puis sa racine, comme si le résultat changeait.
- Pour a ≥ 0, la racine annule le carré : √(a²) = a. Ainsi √(7²) = 7 directement, sans repasser par 49.
Tu maîtrises la notion si…
- Calculer la racine carrée d'un carré parfait et citer √0 = 0, √1 = 1, √25 = 5, √49 = 7.
- Utiliser √(a²) = a pour a ≥ 0 (√(6²) = 6) sans recalculer le carré.
- Éviter les deux pièges : √a n'est pas a ÷ 2, et √a est un seul nombre positif (pas ±).
Vérifie que tu as compris
Que vaut √49 ?
Réponse 7
√49 est le nombre POSITIF dont le carré vaut 49 : 7² = 49, donc √49 = 7. Ce n'est pas 49 ÷ 2 = 24,5 ; la racine √49 désigne un seul nombre positif (±7 sont les solutions de x² = 49, pas la valeur de √49) ; et √49 ≠ 9 (9² = 81).
Que vaut √(7²) ?
Réponse 7
Pour a ≥ 0, la racine annule le carré : √(a²) = a, donc √(7²) = 7. Inutile de calculer 7² = 49 avant la racine, puisque √49 = 7. Ce n'est ni 14 (= 7 × 2) ni √14.
Sachant que 1,2² = 1,44, on peut affirmer que :
Réponse √1,44 = 1,2
Dire que 1,2² = 1,44 signifie exactement que 1,2 est le nombre positif dont le carré vaut 1,44 : c'est la définition de la racine carrée, donc √1,44 = 1,2. Il ne faut pas échanger les rôles des deux nombres, ni diviser par 2 : 1,44 ÷ 2 = 0,72, et 0,72² = 0,5184, pas 1,44.
S'entraîner sur cette notion
La scène s'anime pas à pas, la mascotte t'explique, puis tu t'entraînes. Gratuit pour commencer.
Ouvrir cette scène dans Azulma →Les quatre étapes pour maîtriser cette notion
√49 = 7 car 7² = 49.
Cherche le nombre dont le carré vaut 49, pas la moitié de 49.
√49 = 7, et surtout pas 49 ÷ 2 = 24,5.
La racine carrée n'est jamais une division par 2.
√25 = 5 ; √1 = 1.
Ce sont des carrés parfaits : 5² = 25 et 1² = 1.
√(6²) = 6 (la racine annule le carré).
Propriété √(a²) = a pour a ≥ 0.