Simplifier une racine carrée

L'essentiel

SIMPLIFIER une racine, c'est l'écrire sous la forme la plus courte possible, en sortant un carré parfait de dessous le radical. L'outil est la propriété du PRODUIT : √a × √b = √(a × b), qu'on lit aussi à l'envers, √(a × b) = √a × √b. MÉTHODE : on décompose le nombre en (carré parfait) × (reste), puis on sort la racine du carré parfait.

Exemple : √12. On repère que 12 = 4 × 3, et 4 est un carré parfait (4 = 2²). Alors √12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2 × √3 = 2√3. On vérifie : (2√3)² = 2² × (√3)² = 4 × 3 = 12. Deux autres exemples utiles : √50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2 ; √72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2. ASTUCE : pour aller le plus loin possible, on choisit le PLUS GRAND carré parfait qui divise le nombre (pour 50, c'est 25, pas 4). LE PIÈGE À ÉVITER : la racine ne se « distribue » PAS sur une addition. √(a + b) n'est PAS √a + √b.

Preuve : √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7, et 5 ≠ 7. La propriété du produit marche ; celle de la somme est fausse.

Comprendre

Simplifier une racine = extraire un carré parfait avec √(a × b) = √a × √b. On écrit le nombre sous le radical comme (plus grand carré parfait) × (reste), puis on sort la racine du carré parfait : √12 = √(4 × 3) = 2√3 ; √50 = √(25 × 2) = 5√2 ; √72 = √(36 × 2) = 6√2. On vérifie toujours en remettant au carré : (2√3)² = 4 × 3 = 12. Deux erreurs guettent : (1) choisir un carré parfait trop petit et ne pas finir la simplification (√50 = 2√12,5 est une égalité VRAIE mais ce n'est pas une forme simplifiée — on ne laisse jamais un décimal sous le radical —, ou s'arrêter à √50 = √2 × √25 sans conclure 5√2) — on prend le PLUS GRAND carré parfait diviseur ; (2) surtout, croire que la racine se distribue sur une somme : √(a + b) ≠ √a + √b. Le contre-exemple à retenir par cœur : √(9 + 16) = √25 = 5, mais √9 + √16 = 7 → la propriété de la somme est FAUSSE.

Seul le PRODUIT (et le quotient) se scinde. Cette simplification prépare l'écriture exacte des longueurs en géométrie (aire, Pythagore).

Le cours

LA PROPRIÉTÉ DU PRODUIT. Pour deux nombres positifs a et b : √a × √b = √(a × b). On peut donc, à l'inverse, casser une racine en produit : √(a × b) = √a × √b.

C'est l'outil de la SIMPLIFICATION. SIMPLIFIER UNE RACINE. Simplifier √n, c'est sortir de dessous le radical le plus grand carré parfait qui divise n.

MÉTHODE en trois gestes : (1) trouver le plus grand carré parfait diviseur de n ; (2) écrire n = (carré parfait) × (reste) ; (3) sortir la racine du carré parfait. EXEMPLE 1 : √12. 12 = 4 × 3, avec 4 = 2². √12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3. Vérification : (2√3)² = 4 × 3 = 12. EXEMPLE 2 : √50. Le plus grand carré parfait diviseur de 50 est 25. √50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2. EXEMPLE 3 : √72. 72 = 36 × 2, et 36 = 6². √72 = √(36 × 2) = 6√2. Astuce de contrôle : on peut toujours revérifier en remettant au carré. LE PIÈGE DE LA SOMME.

La racine se répartit sur un PRODUIT, mais PAS sur une SOMME : √(a + b) ≠ √a + √b. Contre-exemple décisif : √(9 + 16) = √25 = 5, tandis que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Comme 5 ≠ 7, la « distribution sur la somme » est fausse. Il faut d'abord effectuer l'addition sous le radical, puis prendre la racine.

À RETENIR : (1) √a × √b = √(a × b) ; (2) simplifier = extraire le plus grand carré parfait (√12 = 2√3, √50 = 5√2, √72 = 6√2) ; (3) √(a + b) ≠ √a + √b (√(9 + 16) = 5, pas 7).

Les erreurs fréquentes

On écrit √(a + b) = √a + √b (par exemple √(9 + 16) = 3 + 4 = 7).

La racine ne se distribue PAS sur une somme : √(9 + 16) = √25 = 5, pas 7. On additionne d'abord sous le radical, puis on prend la racine. Seul le PRODUIT se scinde : √a × √b = √(a × b).

On extrait un carré parfait trop petit et la racine reste simplifiable (√50 = 2√12,5 ou √50 laissé tel quel).

On choisit le PLUS GRAND carré parfait diviseur : pour 50, c'est 25, donc √50 = √(25 × 2) = 5√2 (et non un reste décimal sous la racine).

On sort le carré parfait sans prendre sa racine (√12 = √4 × 3 = 4√3).

On sort la RACINE du carré parfait : √4 = 2, donc √12 = √4 × √3 = 2√3 (et non 4√3, qui vaudrait √48).

Tu maîtrises la notion si…

• Utiliser √a × √b = √(a × b) pour extraire un carré parfait et simplifier (√12 = 2√3, √50 = 5√2, √72 = 6√2).
• Choisir le plus grand carré parfait diviseur pour aller jusqu'à la forme simplifiée.
• Repérer que √(a + b) ≠ √a + √b (√(9 + 16) = 5, pas 7) et ne pas distribuer la racine sur une somme.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est la forme simplifiée de √12 ?

   Réponse 2√3

   On extrait le carré parfait 4 : √12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3. On vérifie : (2√3)² = 4 × 3 = 12. Ce n'est pas 2√6 (= √24 : on a coupé 12 en 2 × 6 au lieu de 4 × 3), ni 4√3 (= √48), ni 3√2 (= √18).

2. Quelle est la forme simplifiée de √50 ?

   Réponse 5√2

   On choisit le PLUS GRAND carré parfait qui divise 50, soit 25 : √50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2. On vérifie : (5√2)² = 25 × 2 = 50. 2√5 = √20, 25√2 = √1250 et 10√5 = √500 ne valent pas √50.

3. Laquelle de ces racines ne peut PAS être simplifiée ?

   Réponse √15

   On simplifie une racine lorsque le nombre placé sous le radical admet un carré parfait comme facteur. Or 15 = 3 × 5 n'en contient aucun, hormis 1 : √15 reste tel quel. Les trois autres se simplifient : √18 = √(9 × 2) = 3√2, √32 = √(16 × 2) = 4√2 et √45 = √(9 × 5) = 3√5.