Résoudre l'équation x² = a

L'essentiel

Une fois qu'on sait COMBIEN de solutions a l'équation x² = a, on les CALCULE. Quand a > 0, il y a toujours deux solutions opposées : la positive x = √a et la négative x = −√a. MÉTHODE : on cherche le nombre positif dont le carré vaut a (c'est √a), puis on écrit ce nombre ET son opposé.

Exemple 1 : x² = 49. Le nombre positif dont le carré vaut 49 est 7, donc les solutions sont x = 7 ou x = −7 (on vérifie : 7² = 49 et (−7)² = 49). Exemple 2 : x² = 100 → x = 10 ou x = −10, car 10² = 100. QUAND a N'EST PAS UN CARRÉ PARFAIT : on ne peut pas donner d'entier, mais la solution EXISTE quand même — on l'écrit avec le symbole racine. Exemple 3 : x² = 10. 10 n'est pas un carré parfait, mais les solutions exactes sont x = √10 ou x = −√10 (et √10 ≈ 3,16, une valeur seulement approchée).

LE PIÈGE : ne confonds pas « résoudre x² = 49 » (deux solutions : 7 et −7) et « calculer √49 » (un seul nombre positif : 7). L'équation réclame les deux nombres, la racine n'en donne qu'un.

Comprendre

Pour a > 0, résoudre x² = a donne DEUX solutions opposées : x = √a ou x = −√a. On calcule √a (le nombre positif dont le carré vaut a) et on n'oublie pas son opposé. x² = 49 → 7 et −7 ; x² = 100 → 10 et −10. Si a n'est pas un carré parfait, les solutions existent toujours mais s'écrivent avec un radical : x² = 10 → √10 et −√10 (valeurs EXACTES ; 3,16 n'est qu'une approximation). Deux erreurs récurrentes : (1) n'écrire que la solution positive (7 au lieu de 7 et −7) — la racine ne donne QUE la positive, alors que l'équation en a deux ; (2) croire qu'un a non-carré-parfait rend l'équation « impossible » — non, on garde la valeur exacte √a.

Le geste-clé du chapitre : distinguer RÉSOUDRE x² = 49 (deux nombres, ±7) de CALCULER √49 (un seul, 7). On enchaîne : signe de a (concept précédent) → nombre de solutions → écriture des deux solutions opposées.

Le cours

RÉSOUDRE x² = a (a > 0). Le concept précédent a établi que, pour a > 0, l'équation x² = a a deux solutions. On les calcule ainsi : la solution positive est √a et la solution négative est son opposée −√a.

On écrit donc x = √a ou x = −√a. CAS D'UN CARRÉ PARFAIT. Si a est un carré parfait, les solutions sont des entiers.

Exemple : x² = 49. Comme 7² = 49, on a √49 = 7, et les solutions sont x = 7 ou x = −7. Vérification : 7² = 49 et (−7)² = 49. De même x² = 100 → x = 10 ou x = −10 (car 10² = 100), qu'on abrège souvent x = ±10. CAS D'UN NOMBRE NON CARRÉ PARFAIT. Si a est un entier qui n'est pas un carré parfait, sa racine carrée n'est ni un entier ni un décimal ; on garde la VALEUR EXACTE avec le symbole racine. Exemple : x² = 10. Les solutions exactes sont x = √10 ou x = −√10. Le nombre √10 est bien réel (compris entre 3 et 4, ≈ 3,16), mais 3,16 n'est qu'une valeur approchée : la valeur exacte s'écrit √10. NE PAS CONFONDRE RÉSOUDRE ET CALCULER. « Calculer √49 » demande UN nombre, le positif : √49 = 7. « Résoudre x² = 49 » demande TOUS les x dont le carré vaut 49 : il y en a DEUX, 7 et −7. La racine fournit la solution positive ; la résolution ajoute l'opposée.

RÉFLEXE. On écrit toujours les deux solutions reliées par « ou » : x = √a ou x = −√a. À RETENIR : (1) x² = a (a > 0) → x = √a ou x = −√a (deux solutions opposées) ; (2) carré parfait → solutions entières (x² = 49 → ±7) ; (3) sinon, valeur exacte (x² = 10 → ±√10) ; (4) résoudre x² = 49 (deux : ±7) ≠ calculer √49 (un : 7).

Les erreurs fréquentes

On ne donne que la solution positive : x² = 49 → x = 7.

Pour a > 0, il y a DEUX solutions opposées : x = 7 ou x = −7, car (−7)² = 49 comme 7² = 49. On n'oublie jamais la solution négative.

On croit que x² = 10 est « impossible » parce que 10 n'est pas un carré parfait.

Les solutions existent : x = √10 ou x = −√10 (valeurs exactes). Le fait que √10 ne « tombe pas juste » (≈ 3,16) n'empêche pas la solution d'exister.

On confond résoudre x² = 49 et calculer √49.

√49 = 7 est un seul nombre (positif). Résoudre x² = 49 donne DEUX solutions, 7 et −7. La racine ne fournit que la solution positive.

Tu maîtrises la notion si…

• Résoudre x² = a pour a > 0 en donnant les deux solutions opposées x = √a et x = −√a (x² = 49 → ±7 ; x² = 100 → ±10).
• Écrire les solutions exactes avec un radical quand a n'est pas un carré parfait (x² = 10 → ±√10).
• Distinguer résoudre x² = 49 (deux solutions ±7) de calculer √49 (un seul nombre positif, 7).

Vérifie que tu as compris

1. Quelles sont les solutions de x² = 49 ?

   Réponse 7 et −7

   a = 49 > 0 : l'équation a deux solutions opposées, x = √49 = 7 et x = −√49 = −7. On n'oublie pas la solution négative. Résoudre x² = 49 (deux nombres) est différent de calculer √49 (le seul 7).

2. Quelles sont les solutions exactes de x² = 10 ?

   Réponse √10 et −√10

   10 n'est pas un carré parfait : les solutions EXACTES sont x = √10 et x = −√10 (opposées). 3,16 n'est qu'une valeur approchée de √10, et il y a bien deux solutions (on garde la valeur exacte √10). 5 et 10 ne conviennent pas car 5² = 25 et 10² = 100.

3. Le carré d'un nombre positif vaut 121. Quel est ce nombre ?

   Réponse 11

   On cherche le nombre x tel que x² = 121. L'équation a deux solutions opposées, 11 et −11, mais l'énoncé précise que le nombre est POSITIF : la réponse est 11, car 11² = 121. Diviser par 2 (60,5) n'est pas une racine carrée, et 12² = 144, pas 121.