L'équation x² = a : combien de solutions ?

L'essentiel

Résoudre l'équation x² = a, c'est chercher TOUS les nombres x dont le carré vaut a. Le nombre de réponses dépend du signe de a. PREMIER CAS, a > 0 : il y a DEUX solutions, opposées l'une de l'autre.

Par exemple x² = 25 a pour solutions 5 et −5, car 5² = 25 ET (−5)² = 25 (le carré d'un nombre négatif est positif). On les note √25 et −√25, soit 5 et −5. DEUXIÈME CAS, a = 0 : il y a UNE seule solution, x = 0, car seul 0 a un carré nul. TROISIÈME CAS, a < 0 : il n'y a AUCUNE solution.

En effet, le carré d'un nombre est toujours positif ou nul (x² ≥ 0 pour tout x) : aucun nombre ne peut avoir un carré négatif, donc x² = −9 n'a pas de solution. LE POINT À NE PAS RATER : ne confonds pas l'équation x² = a avec la racine √a. La racine √25 est UN seul nombre (positif) : c'est 5. Mais l'équation x² = 25 a DEUX solutions : 5 et −5. La racine te donne la solution positive ; l'équation, elle, réclame aussi l'opposée.

Comprendre

L'équation x² = a demande tous les x dont le carré vaut a. Le compte des solutions suit le signe de a : a > 0 → deux solutions opposées (√a et −√a) ; a = 0 → une seule (0) ; a < 0 → aucune. La raison du cas a < 0 est décisive et se retient une fois pour toutes : un carré est toujours ≥ 0 (x² ≥ 0), donc aucun nombre n'a un carré strictement négatif.

Pour a > 0, l'existence de DEUX solutions vient de la règle des signes : (−5)² = 25 comme 5² = 25, donc 5 et −5 conviennent tous les deux. L'erreur centrale du chapitre est de n'en donner qu'une (souvent la positive) ou de confondre l'équation avec la racine : √25 = 5 est UN nombre (la racine, positive par définition), mais résoudre x² = 25 exige DEUX nombres, 5 et −5. Compter correctement les solutions AVANT de les calculer est le réflexe visé : on regarde le signe de a, on annonce « deux / une / aucune », puis on écrit les solutions. Ce concept prépare directement la résolution effective de x² = a.

Le cours

RÉSOUDRE x² = a. Résoudre l'équation x² = a, c'est trouver tous les nombres x dont le carré est égal à a. Le nombre de solutions dépend uniquement du SIGNE de a.

CAS a > 0 : DEUX SOLUTIONS OPPOSÉES. Il existe exactement deux nombres dont le carré vaut a : √a (positif) et −√a (négatif). Exemple : x² = 25. Comme 5² = 25 et (−5)² = 25, les solutions sont 5 et −5. On écrit x = 5 ou x = −5, c'est-à-dire x = √25 ou x = −√25. CAS a = 0 : UNE SEULE SOLUTION.

La seule possibilité est x = 0, car 0 est le seul nombre de carré nul. CAS a < 0 : AUCUNE SOLUTION. Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul : pour tout x, x² ≥ 0. Aucun nombre n'a donc un carré négatif, et l'équation x² = −9 (par exemple) n'a pas de solution.

Attention : (−3)² = 9, pas −9 ; on ne peut pas « fabriquer » un carré négatif. NE PAS CONFONDRE AVEC LA RACINE. La racine carrée √a est, par définition, UN SEUL nombre, positif : √25 = 5. L'équation x² = 25, elle, a DEUX solutions : 5 et −5. La racine donne la solution positive ; l'équation demande en plus son opposée.

RÉFLEXE. Avant de calculer, on regarde le signe de a et on annonce le nombre de solutions : deux (a > 0), une (a = 0), aucune (a < 0). À RETENIR : (1) x² = a avec a > 0 → deux solutions opposées √a et −√a ; (2) a = 0 → une seule (0) ; (3) a < 0 → aucune (un carré n'est jamais négatif) ; (4) √a (un nombre positif) ≠ solutions de x² = a (parfois deux).

Les erreurs fréquentes

On ne donne qu'une solution à x² = 25 (seulement 5, on oublie −5).

Pour a > 0, il y a DEUX solutions opposées : 5 et −5, car (−5)² = 25 comme 5² = 25. On n'oublie jamais la solution négative.

On croit que x² = −9 a pour solutions 3 et −3 (ou −3).

Un carré n'est jamais négatif : x² ≥ 0 pour tout x. L'équation x² = −9 n'a AUCUNE solution. (−3)² = 9, pas −9.

On confond l'équation x² = 25 avec la racine √25.

√25 = 5 est UN seul nombre (positif). L'équation x² = 25 a DEUX solutions, 5 et −5. La racine ne donne que la solution positive.

Tu maîtrises la notion si…

• Annoncer le nombre de solutions de x² = a selon le signe de a (deux si a > 0, une si a = 0, aucune si a < 0).
• Justifier qu'aucun nombre n'a un carré négatif (x² ≥ 0), donc x² = a n'a pas de solution si a < 0.
• Distinguer la racine √a (un seul nombre positif) des solutions de x² = a (deux nombres opposés quand a > 0).

Vérifie que tu as compris

1. Combien l'équation x² = 25 a-t-elle de solutions ?

   Réponse deux

   25 > 0, donc x² = 25 a DEUX solutions opposées : 5 et −5 (car 5² = 25 et (−5)² = 25). Une équation x² = a n'a qu'une seule solution si a = 0, et aucune si a < 0.

2. Combien l'équation x² = −9 a-t-elle de solutions ?

   Réponse aucune

   Un carré n'est jamais négatif : x² ≥ 0 pour tout nombre x. Aucun nombre n'a donc un carré égal à −9 : l'équation x² = −9 n'a AUCUNE solution. Attention, (−3)² = 9 (positif), pas −9.

3. Pour quelles valeurs de a l'équation x² = a n'a-t-elle aucune solution ?

   Réponse pour a < 0

   Un carré est toujours positif ou nul : x² ≥ 0 quel que soit le nombre x. Si a est strictement NÉGATIF, aucun nombre ne peut avoir a pour carré : l'équation n'a alors aucune solution. Pour a > 0, il y a au contraire deux solutions opposées, √a et −√a, et pour a = 0 une seule solution, x = 0.