Un programme de calcul est une fonction

L'essentiel

Un PROGRAMME DE CALCUL est une suite d'instructions appliquées à un nombre de départ. Par exemple : « choisis un nombre, multiplie-le par 3, puis ajoute 2 ». Comme à chaque nombre choisi correspond un seul résultat, ce programme définit une FONCTION, que l'on note f : x ↦ 3x + 2 (l'entrée x devient 3x + 2).

Calculer f(4), c'est faire passer 4 dans la machine, étape par étape : 4 × 3 = 12, puis 12 + 2 = 14. On écrit f(4) = 3 × 4 + 2 = 14. On dit que 14 est le résultat du programme pour x = 4. Autre exemple avec le même programme : f(0) = 3 × 0 + 2 = 0 + 2 = 2. IMPORTANT : on respecte l'ORDRE des étapes (ici on multiplie AVANT d'ajouter, comme le disent les priorités opératoires : 3 × 4 puis + 2). La notation x ↦ 3x + 2 est un résumé du programme : 3x veut dire « x multiplié par 3 », et « + 2 » veut dire « on ajoute 2 ».

Comprendre

Un PROGRAMME DE CALCUL transforme un nombre d'entrée en un nombre de sortie par une suite d'étapes ; comme chaque entrée donne une seule sortie, il définit une FONCTION f. On le résume par une écriture f : x ↦ (expression), par exemple « × 3 puis + 2 » devient f : x ↦ 3x + 2. Démarche pour CALCULER UNE IMAGE : (1) remplacer x par la valeur choisie ; (2) appliquer les étapes DANS L'ORDRE en respectant les priorités (multiplier avant d'additionner) ; (3) écrire le résultat. Exemples : f(4) = 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14 ; f(0) = 3 × 0 + 2 = 2. Pièges : oublier une étape, ou inverser l'ordre (ajouter 2 avant de multiplier donnerait (4 + 2) × 3 = 18, ce qui correspond à un AUTRE programme).

L'écriture 3x + 2 encode l'ordre : « 3x » signifie « x multiplié par 3 », l'addition vient ensuite. Un même programme, appliqué à des entrées différentes, produit toujours des sorties calculées de la même façon : c'est la régularité qui fait la fonction.

Le cours

On relie ici les programmes de calcul, déjà rencontrés, à la notion de fonction. UN PROGRAMME DÉFINIT UNE FONCTION. Un programme de calcul applique une suite d'instructions à un nombre de départ.

Comme chaque nombre d'entrée donne un seul résultat, le programme définit une FONCTION f. Exemple : « choisis x, multiplie par 3, ajoute 2 » se note f : x ↦ 3x + 2. On lit « f associe à x le nombre 3x + 2 ». CALCULER UNE IMAGE.

Calculer f(4), c'est faire passer 4 dans le programme, étape par étape : 4 × 3 = 12, puis 12 + 2 = 14, donc f(4) = 3 × 4 + 2 = 14. De même f(0) = 3 × 0 + 2 = 0 + 2 = 2. L'ORDRE DES ÉTAPES EST ESSENTIEL. On respecte les priorités opératoires : dans 3x + 2, on multiplie d'abord (3 × x), puis on ajoute 2. Si l'on ajoutait 2 avant de multiplier, on obtiendrait un programme différent : « ajoute 2 puis multiplie par 3 » donne (x + 2) × 3, soit pour x = 4 : (4 + 2) × 3 = 18. MÉTHODE : (1) je remplace x par la valeur ; (2) j'applique les étapes dans l'ordre ; (3) j'écris le résultat. À RETENIR : (1) un programme de calcul définit une fonction f : x ↦ 3x + 2 ; (2) calculer une image = appliquer les étapes dans l'ordre ; (3) f(4) = 14, f(0) = 2.

Les erreurs fréquentes

On inverse l'ordre des étapes : on ajoute 2 avant de multiplier par 3.

Le programme dit « multiplie par 3 PUIS ajoute 2 » : f(4) = 3 × 4 + 2 = 14. Ajouter d'abord donnerait (4 + 2) × 3 = 18, un autre programme.

On oublie le terme constant : on écrit f(4) = 3 × 4 = 12.

Il ne faut pas oublier l'étape « + 2 » : f(4) = 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.

Tu maîtrises la notion si…

• Traduire un programme de calcul par une fonction f : x ↦ 3x + 2.
• Calculer l'image d'un nombre en appliquant les étapes dans l'ordre (f(4) = 14).
• Calculer l'image de 0 et d'autres valeurs simples (f(0) = 2).

Vérifie que tu as compris

1. Programme : choisis un nombre, multiplie par 3, ajoute 2. Avec l'entrée 4, quel est le résultat f(4) ?

   Réponse 14

   On applique les étapes dans l'ordre : 4 × 3 = 12, puis 12 + 2 = 14. Donc f(4) = 14.

2. Le programme « multiplie par 3 puis ajoute 2 » définit la fonction f : x ↦ 3x + 2. Que vaut f(0) ?

   Réponse 2

   f(0) = 3 × 0 + 2 = 0 + 2 = 2. On n'oublie pas le terme + 2.

3. Les programmes « multiplie par 4 puis ajoute 1 » et « ajoute 1 puis multiplie par 4 » donnent-ils le même résultat pour l'entrée 5 ?

   Réponse Non : on obtient 21 d'un côté et 24 de l'autre

   L'ordre des étapes compte : « × 4 puis + 1 » donne 5 × 4 + 1 = 21, alors que « + 1 puis × 4 » donne (5 + 1) × 4 = 24. Ce sont deux fonctions différentes : x ↦ 4x + 1 et x ↦ 4(x + 1).