Image et antécédent

L'essentiel

Quand une fonction f associe à un nombre a un nombre b, on écrit f(a) = b. On dit alors que b est l'IMAGE de a (par f), et que a est un ANTÉCÉDENT de b. Ces deux mots décrivent le même lien, mais dans les deux sens : de a vers b (l'image), et de b vers a (l'antécédent).

CALCULER UNE IMAGE, c'est facile : on remplace x par le nombre. Pour f : x ↦ 3x + 2, l'image de 4 est f(4) = 3 × 4 + 2 = 14. CHERCHER UN ANTÉCÉDENT, c'est l'opération inverse : on connaît le résultat et on cherche quel nombre l'a produit. Pour trouver un antécédent de 20, on résout l'équation f(x) = 20, c'est-à-dire 3x + 2 = 20. On enlève 2 des deux côtés : 3x = 18, puis on divise par 3 : x = 6. On vérifie : f(6) = 3 × 6 + 2 = 20. Donc 6 est un antécédent de 20. À RETENIR le sens des mots : l'image, c'est ce qui SORT de la fonction ; l'antécédent, c'est ce qui ENTRE.

Calculer une image : on avance (on remplace). Chercher un antécédent : on remonte (on résout une équation).

Comprendre

Pour une fonction f, l'égalité f(a) = b se lit dans deux sens : b est l'IMAGE de a (ce qui sort), a est un ANTÉCÉDENT de b (ce qui entre). Deux tâches opposées. CALCULER UNE IMAGE : remplacer x par la valeur et calculer.

Pour f : x ↦ 3x + 2, image de 4 = f(4) = 3 × 4 + 2 = 14. CHERCHER UN ANTÉCÉDENT : résoudre l'équation f(x) = valeur. Antécédent de 20 : 3x + 2 = 20 ⟹ 3x = 18 ⟹ x = 6 ; vérification f(6) = 20. La difficulté est de ne pas confondre les deux : pour l'image on AVANCE (substitution directe), pour l'antécédent on REMONTE (équation à résoudre). Pièges : chercher l'antécédent en « remplaçant x par 20 » (ce serait calculer f(20), pas un antécédent) ; ou calculer l'image en résolvant une équation.

Repère utile : le mot « image » va avec « calculer/remplacer », le mot « antécédent » va avec « résoudre/équation ». Un nombre peut avoir plusieurs antécédents selon la fonction, mais dans f : x ↦ 3x + 2 chaque valeur a un seul antécédent.

Le cours

Ce concept installe le vocabulaire central des fonctions : image et antécédent. LES DEUX MOTS. Quand f associe à a le nombre b, on écrit f(a) = b.

Alors b est l'IMAGE de a par f, et a est un ANTÉCÉDENT de b par f. C'est le même lien lu dans les deux sens : a → b (image), b ← a (antécédent). CALCULER UNE IMAGE.

On remplace x par le nombre voulu et on calcule. Pour f : x ↦ 3x + 2, l'image de 4 est f(4) = 3 × 4 + 2 = 14. C'est une substitution directe. CHERCHER UN ANTÉCÉDENT.

C'est l'opération inverse : on connaît la sortie, on cherche l'entrée. On résout l'équation f(x) = valeur. Antécédent de 20 : 3x + 2 = 20 ; on soustrait 2 : 3x = 18 ; on divise par 3 : x = 6. VÉRIFICATION : f(6) = 3 × 6 + 2 = 18 + 2 = 20. Donc 6 est bien un antécédent de 20. NE PAS CONFONDRE : calculer une image = avancer (remplacer) ; chercher un antécédent = remonter (résoudre).

MÉTHODE : pour une image, je remplace x et je calcule ; pour un antécédent, j'écris f(x) = valeur et je résous l'équation. À RETENIR : (1) f(a) = b : b image de a, a antécédent de b ; (2) image = remplacer x ; (3) antécédent = résoudre une équation.

Les erreurs fréquentes

Pour chercher un antécédent de 20, on calcule f(20) au lieu de résoudre f(x) = 20.

Un antécédent est ce qui ENTRE pour donner 20 : on résout 3x + 2 = 20 → x = 6. Calculer f(20) donnerait l'image de 20, pas un antécédent de 20.

On confond image et antécédent (on inverse les deux mots).

Dans f(4) = 14 : 14 est l'image de 4 (ce qui sort), 4 est l'antécédent de 14 (ce qui entre). L'image se calcule, l'antécédent se cherche par une équation.

Tu maîtrises la notion si…

• Utiliser correctement les mots image et antécédent à partir de f(a) = b.
• Calculer l'image d'un nombre en remplaçant x (image de 4 = 14).
• Chercher un antécédent en résolvant une équation (antécédent de 20 : x = 6).

Vérifie que tu as compris

1. Pour f : x ↦ 3x + 2, quelle est l'image de 4 ?

   Réponse 14

   Calculer une image, c'est remplacer x : f(4) = 3 × 4 + 2 = 14.

2. Pour f : x ↦ 3x + 2, quel est un antécédent de 20 ?

   Réponse 6

   Chercher un antécédent, c'est résoudre f(x) = 20 : 3x + 2 = 20 → 3x = 18 → x = 6.

3. On sait que f(7) = 19. Comment appelle-t-on le nombre 7 ?

   Réponse un antécédent de 19

   Dans l'égalité f(7) = 19, le nombre qui ENTRE, 7, est un antécédent de 19, et le nombre qui SORT, 19, est l'image de 7. Une image se calcule par substitution ; un antécédent se cherche en résolvant une équation.