La dépendance fonctionnelle

L'essentiel

Deux grandeurs sont liées par une DÉPENDANCE quand l'une est complètement déterminée dès que l'on connaît l'autre. On dit alors qu'une grandeur est « en fonction de » l'autre. La grandeur que l'on choisit s'appelle l'ENTRÉE (souvent notée x), celle qui en découle s'appelle la SORTIE (souvent notée y).

Exemple : des cerises coûtent 4 € le kilo. Le prix à payer dépend du nombre de kilos achetés : c'est « le prix EN FONCTION DU nombre de kg ». Si je choisis 3 kg (l'entrée), le prix (la sortie) est fixé : 3 × 4 = 12 €.

Le point important : à chaque valeur de l'entrée correspond UNE SEULE valeur de la sortie. Pour 3 kg il y a un seul prix possible, pas deux. C'est ce qui fait qu'on a bien une fonction.

Attention au sens : ici c'est le prix qui dépend de la masse, pas l'inverse — c'est le nombre de kg que l'on choisit d'abord.

Comprendre

Une DÉPENDANCE FONCTIONNELLE relie deux grandeurs : l'ENTRÉE (x, celle que l'on choisit) et la SORTIE (y, celle qui en découle). On dit « y en fonction de x ». La règle décisive : à chaque valeur de x correspond UNE SEULE valeur de y (sinon ce n'est pas une fonction).

Démarche : (1) repérer laquelle des deux grandeurs commande l'autre — celle qu'on fixe librement est l'entrée ; (2) écrire la dépendance « sortie en fonction de l'entrée » ; (3) pour une entrée donnée, déterminer l'unique sortie. Exemple : cerises à 4 €/kg. L'entrée est le nombre de kg (on le choisit), la sortie est le prix. « le prix en fonction du nombre de kg ».

Pour 3 kg : prix = 3 × 4 = 12 €, un seul prix possible. Piège fréquent : inverser entrée et sortie (« le nombre de kg en fonction du prix »), ou croire qu'une entrée peut donner deux sorties. Cette idée de dépendance — une entrée, une seule sortie — est le socle de toute la notion de fonction.

Le cours

Ce chapitre poursuit en 4e l'étude des fonctions commencée en 5e. QU'EST-CE QU'UNE DÉPENDANCE ? Deux grandeurs sont liées par une dépendance quand la valeur de l'une est entièrement déterminée dès que l'on connaît l'autre.

On dit alors qu'une grandeur s'exprime « EN FONCTION DE » l'autre. VOCABULAIRE : la grandeur que l'on choisit librement est l'ENTRÉE (notée souvent x) ; celle qui en découle est la SORTIE (notée souvent y). EXEMPLE DE RÉFÉRENCE.

Des cerises coûtent 4 € le kilogramme. Le prix à payer dépend du nombre de kilos : c'est « le prix en fonction du nombre de kg ». Si je choisis 3 kg (l'entrée), le prix (la sortie) vaut 3 × 4 = 12 €.

LA RÈGLE DE LA FONCTION. À chaque valeur de l'entrée correspond UNE SEULE valeur de la sortie : pour 3 kg, un seul prix (12 €). C'est précisément cette unicité qui définit une fonction.

MÉTHODE : (1) je repère la grandeur que l'on choisit (l'entrée) et celle qui en dépend (la sortie) ; (2) j'écris « sortie en fonction de l'entrée » ; (3) pour une entrée donnée, je calcule l'unique sortie. AUTRES EXEMPLES : la distance parcourue en fonction du temps, l'aire d'un carré en fonction de son côté, la facture d'eau en fonction du volume consommé. À RETENIR : (1) une dépendance relie une entrée choisie à une sortie qui en découle ; (2) « y en fonction de x » ; (3) à chaque entrée correspond une seule sortie.

Les erreurs fréquentes

On inverse l'entrée et la sortie (« le nombre de kg en fonction du prix »).

L'entrée est la grandeur que l'on CHOISIT ; la sortie en découle. Ici on choisit le nombre de kg, le prix en dépend : c'est « le prix en fonction du nombre de kg ».

On croit qu'une même entrée pourrait donner plusieurs sorties.

Dans une fonction, à chaque valeur de l'entrée correspond UNE SEULE sortie. Pour 3 kg de cerises à 4 €/kg, il y a un seul prix : 12 €, pas deux.

Tu maîtrises la notion si…

• Repérer l'entrée (grandeur choisie) et la sortie (grandeur qui en dépend) dans une situation.
• Exprimer une dépendance sous la forme « y en fonction de x » sans inverser les deux grandeurs.
• Déterminer l'unique sortie associée à une valeur de l'entrée (3 kg à 4 €/kg → 12 €).

Vérifie que tu as compris

1. Des cerises coûtent 4 €/kg. Le prix à payer dépend du nombre de kg. Quel est le prix pour 3 kg ?

   Réponse 12 €

   Le prix est fonction du nombre de kg : prix = 3 × 4 = 12 €.

2. Dans « le prix en fonction du nombre de kg », quelle grandeur joue le rôle de l'entrée (celle que l'on choisit) ?

   Réponse le nombre de kg

   On choisit d'abord le nombre de kg (l'entrée) ; le prix (la sortie) en découle. À chaque nombre de kg correspond un seul prix.

3. Dans une dépendance fonctionnelle, à une même valeur d'entrée correspondent combien de valeurs de sortie ?

   Réponse une seule

   C'est la règle décisive d'une fonction : à chaque valeur de l'entrée correspond UNE SEULE valeur de sortie. Pour 3 kg de cerises à 4 €/kg, il y a un seul prix possible, 12 €, jamais deux.