Formule littérale exprimant une dépendance

L'essentiel

Beaucoup de situations relient deux grandeurs par une règle que l'on peut écrire avec des lettres : c'est une FORMULE LITTÉRALE. Elle exprime une grandeur EN FONCTION d'une autre. Premier exemple : un carré de côté c.

Son périmètre est la somme de ses quatre côtés, tous égaux à c : P = c + c + c + c = 4 × c, que l'on écrit P = 4c. Cette formule dit « le périmètre en fonction du côté » : dès que je connais c, je connais P (pour c = 5 cm, P = 4 × 5 = 20 cm). Deuxième exemple : au cinéma, une place coûte 3 € et il y a 5 € de frais fixes.

Le prix pour n places est p = 3n + 5 : les n places coûtent 3n, auxquels s'ajoutent les 5 € de frais. Pour n = 4 places : p = 3 × 4 + 5 = 17 €. POUR CONSTRUIRE UNE FORMULE : on repère la grandeur que l'on cherche (le périmètre, le prix), on nomme par une lettre la grandeur dont elle dépend (c, n), puis on traduit la situation en calcul.

Attention à l'ordre des mots : « 3 € par place plus 5 € de frais » donne 3n + 5, pas 5n + 3.

Comprendre

Une FORMULE LITTÉRALE traduit une dépendance : elle exprime une grandeur en fonction d'une autre à l'aide de lettres. Démarche : (1) repérer la grandeur cherchée (sortie) ; (2) nommer par une lettre la grandeur dont elle dépend (entrée) ; (3) traduire la règle de la situation en expression. Exemple géométrique : périmètre d'un carré de côté c = somme des 4 côtés = c + c + c + c = 4 × c, donc P = 4c (pour c = 5, P = 20).

Exemple de la vie courante : n places à 3 € plus 5 € de frais → les places coûtent 3n, plus 5 € fixes, donc p = 3n + 5 (pour n = 4, p = 17). Deux briques reviennent : un coefficient qui multiplie l'entrée (le prix unitaire, le nombre de côtés) et parfois un terme constant qui s'ajoute (les frais fixes). Pièges : inverser coefficient et constante (écrire 5n + 3 au lieu de 3n + 5) ; oublier le terme constant ; confondre « 4 fois c » (4c) avec « c au carré » (c², qui serait l'AIRE, pas le périmètre).

Une formule littérale est le résumé algébrique d'une fonction : y = expression de x.

Le cours

Ce dernier concept relie les fonctions au calcul littéral : traduire une situation par une formule. UNE FORMULE LITTÉRALE EXPRIME UNE DÉPENDANCE. Quand une grandeur dépend d'une autre, on peut souvent écrire la règle avec des lettres : c'est une formule littérale, qui donne une grandeur « en fonction de » l'autre.

EXEMPLE GÉOMÉTRIQUE : LE PÉRIMÈTRE D'UN CARRÉ. Un carré de côté c a quatre côtés égaux. Son périmètre est P = c + c + c + c = 4 × c, que l'on écrit P = 4c.

C'est « le périmètre en fonction du côté » : pour c = 5 cm, P = 4 × 5 = 20 cm. Attention : 4c est le périmètre ; l'aire, elle, serait c × c = c². EXEMPLE DE LA VIE COURANTE : UN PRIX AVEC DES FRAIS.

Une place de cinéma coûte 3 € et il y a 5 € de frais de réservation. Pour n places, on paie 3n (les places) plus 5 € (les frais) : p = 3n + 5. Pour n = 4 : p = 3 × 4 + 5 = 12 + 5 = 17 €. MÉTHODE POUR ÉCRIRE UNE FORMULE : (1) je repère la grandeur cherchée ; (2) je nomme par une lettre la grandeur dont elle dépend ; (3) je traduis la situation (un coefficient qui multiplie, parfois une constante qui s'ajoute).

SOIN À L'ORDRE : « 3 € par place plus 5 € de frais » donne 3n + 5, et non 5n + 3. À RETENIR : (1) une formule littérale exprime une dépendance (y en fonction de x) ; (2) périmètre d'un carré P = 4c ; (3) prix avec frais p = 3n + 5.

Les erreurs fréquentes

On échange le coefficient et le terme constant : on écrit p = 5n + 3 au lieu de p = 3n + 5.

Le prix des n places est 3n (3 € par place) ; les 5 € sont des frais fixes qui s'ajoutent une seule fois : p = 3n + 5.

On confond le périmètre 4c avec l'aire c² du carré.

Le périmètre est la somme des 4 côtés : P = 4c. L'aire, elle, est c × c = c². Ce sont deux formules différentes.

Tu maîtrises la notion si…

• Traduire une situation par une formule littérale exprimant une dépendance.
• Établir le périmètre d'un carré de côté c : P = 4c.
• Exprimer un prix avec un coût unitaire et des frais fixes : p = 3n + 5.

Vérifie que tu as compris

1. Un carré a un côté de longueur c. Quelle formule donne son périmètre P ?

   Réponse P = 4c

   Le périmètre est la somme des 4 côtés égaux : P = c + c + c + c = 4c (l'aire, elle, serait c²).

2. n places de cinéma coûtent 3 € chacune, plus 5 € de frais fixes. Quelle formule donne le prix p ?

   Réponse p = 3n + 5

   Les n places coûtent 3n ; les 5 € de frais s'ajoutent une seule fois : p = 3n + 5.

3. Pour un carré de côté c, quelle est la différence entre les expressions 4c et c² ?

   Réponse 4c est le périmètre, c² est l'aire

   Le périmètre est la somme des quatre côtés : P = c + c + c + c = 4c. L'aire est le produit de deux côtés : A = c × c = c². Pour c = 5, on obtient P = 20 et A = 25 : deux formules pour deux grandeurs différentes.