Translation et parallélogramme

L'essentiel

Il y a un lien très pratique entre translation et parallélogramme. « M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B » veut dire exactement la même chose que « ABM'M est un parallélogramme ». Pourquoi ? Parce que la même flèche va de A vers B et de M vers M' : les segments [AB] et [MM'] ont la même direction, le même sens et la même longueur.

Or, un quadrilatère qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme. On peut donc s'en servir dans les deux sens : pour CONSTRUIRE M' (on complète le parallélogramme ABM'M), ou pour RECONNAÎTRE une translation (si ABM'M est un parallélogramme, alors M' est l'image de M).

Comprendre

La translation qui transforme A en B a pour flèche celle qui va de A vers B. Si M' est l'image de M par cette translation, alors la flèche de M vers M' est identique à celle de A vers B : même direction, même sens, même longueur. Autrement dit, les segments [AB] et [MM'] sont parallèles, de même longueur et orientés dans le même sens. Considérons le quadrilatère ABM'M (attention à l'ordre des sommets : A, B, puis M', puis M).

Ses côtés [AB] et [MM'] sont parallèles et de même longueur ; d'après la caractérisation du parallélogramme (un quadrilatère non croisé ayant deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme), ABM'M est un parallélogramme. Réciproquement, si ABM'M est un parallélogramme, alors [AB] et [MM'] sont parallèles et de même longueur, et de même sens (car les côtés opposés d'un parallélogramme, pris dans le bon ordre, ont même sens) : M' est donc l'image de M par la translation qui transforme A en B. Ce lien est très utile : pour construire l'image M' d'un point M, il suffit de compléter le parallélogramme ABM'M (on reporte le côté [AB] à partir de M). Attention à l'ordre des lettres : c'est bien ABM'M (et non ABMM'), car il faut que [AB] et [MM'] soient les côtés opposés, et [AM] et [BM'] les deux autres côtés opposés.

Le cours

Il existe une équivalence fondamentale entre translation et parallélogramme, qui sert aussi bien à construire qu'à reconnaître une translation. Propriété : « M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B » équivaut à « ABM'M est un parallélogramme ». Justification.

La translation qui transforme A en B a pour flèche celle de A vers B. Si M' est l'image de M, la flèche de M vers M' est la même : [AB] et [MM'] sont donc parallèles, de même longueur et de même sens. Le quadrilatère ABM'M a alors deux côtés opposés, [AB] et [MM'], parallèles et de même longueur : c'est un parallélogramme. Réciproquement, si ABM'M est un parallélogramme, ses côtés opposés [AB] et [MM'] sont parallèles et de même longueur, et de même sens : la flèche de M vers M' est identique à celle de A vers B, donc M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B. Utilisations. (1) Construire M' : on complète le parallélogramme ABM'M, c'est-à-dire on reporte à partir de M un segment égal, parallèle et de même sens que [AB]. (2) Reconnaître une translation : si l'on constate que ABM'M est un parallélogramme, on sait que M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B. Point de vigilance : l'ordre des lettres est ABM'M ; [AB] et [MM'] sont les côtés opposés (et non [AB] et [M'M] pris à l'envers).

Se tromper d'ordre (écrire ABMM') donnerait un quadrilatère croisé, pas le parallélogramme attendu.

Les erreurs fréquentes

On écrit le parallélogramme dans le mauvais ordre : ABMM' au lieu de ABM'M.

L'ordre correct est ABM'M : les côtés opposés sont [AB] et [MM']. Écrire ABMM' donne un quadrilatère croisé, pas le parallélogramme attendu.

On sait que [AB] et [MM'] ont la même longueur mais on oublie le sens : on place M' du mauvais côté.

Il faut la même direction, la même longueur ET le même sens que [AB]. On reporte la flèche de A vers B à partir de M, en gardant le sens.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer l'équivalence : M' image de M par la translation qui transforme A en B ⟺ ABM'M parallélogramme.
• Construire M' en complétant le parallélogramme ABM'M (reporter [AB] à partir de M).
• Reconnaître une translation à partir d'un parallélogramme ABM'M, en respectant l'ordre des sommets.

Vérifie que tu as compris

1. Dire que M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B revient à dire que...

   Réponse ABM'M est un parallélogramme

   La même flèche transforme A en B et M en M', donc [AB] et [MM'] sont parallèles, de même longueur et de même sens : ABM'M est un parallélogramme.

2. ABM'M est un parallélogramme (M' est l'image de M par la translation qui transforme A en B). Que peut-on dire de [AB] et [MM'] ?

   Réponse Ils sont parallèles, de même longueur et de même sens

   Dans le parallélogramme ABM'M, les côtés [AB] et [MM'] sont les deux applications de la même flèche : parallèles, de même longueur et de même sens.

3. Dans un parallélogramme ABCD, quelle égalité de « flèches » est vraie ?

   Réponse La flèche de A vers B est celle de D vers C

   Dans le parallélogramme ABCD, [AB] et [DC] sont parallèles, de même longueur et de même sens : la translation qui transforme A en B transforme aussi D en C.