La translation : direction, sens et longueur

L'essentiel

Une translation, c'est un glissement : on déplace la figure en ligne droite, sans la tourner ni la retourner. Le glissement est donné par une « flèche » qui indique trois choses : la direction (l'inclinaison), le sens (vers où pointe la flèche) et la longueur (de combien on glisse). Quand on glisse un point A, on obtient son image, notée A'.

Exemple : la translation qui transforme A en B glisse tout point de la même flèche que celle qui va de A à B ; ainsi l'image de M est M'.

Comprendre

Une translation est une transformation du plan qui fait glisser chaque point d'une même « flèche ». Cette flèche (appelée vecteur en classe supérieure) porte trois informations indissociables : une direction (la droite selon laquelle on glisse), un sens (l'une des deux façons de parcourir cette direction, indiquée par la pointe) et une longueur (la distance du glissement). L'image d'un point A est le point A' obtenu en glissant A de cette flèche.

On décrit souvent la translation par deux points : « la translation qui transforme A en B » est celle dont la flèche va de A vers B ; l'image de A est alors B. Le point essentiel est que la MÊME flèche s'applique à tous les points : si la translation transforme A en B, elle transforme aussi M en un point M' tel que la flèche de M vers M' est identique à celle de A vers B (même direction, même sens, même longueur). Dans un repère, cela se lit facilement : si passer de A(1 ; 2) à B(4 ; 3) revient à avancer de +3 en abscisse et de +1 en ordonnée, alors l'image de M(2 ; 5) est M'(5 ; 6). Une translation ne dépend donc PAS d'un point particulier comme la symétrie centrale (qui a un centre) ou la symétrie axiale (qui a un axe) : elle est entièrement décrite par sa flèche.

Le cours

Une translation est une transformation géométrique qui fait glisser toute figure du plan d'un même mouvement, sans la faire tourner ni la retourner. Ce glissement est décrit par une « flèche » : elle donne la direction (l'inclinaison du déplacement), le sens (vers où l'on va) et la longueur (la distance parcourue). Ces trois éléments doivent être précisés ensemble : deux flèches de même direction mais de sens opposés définissent deux translations différentes, et deux flèches de même direction et même sens mais de longueurs différentes aussi.

L'image d'un point A par une translation est le point A', obtenu en glissant A de la flèche. On note souvent une translation à partir de deux points : « la translation qui transforme A en B » a pour flèche celle qui va de A vers B, et l'image de A est B. Le cœur de la notion est que cette flèche est la même pour tous les points : pour n'importe quel point M, son image M' est telle que la flèche de M à M' a exactement la même direction, le même sens et la même longueur que celle de A à B. En repère, on traduit la flèche par un déplacement horizontal et vertical : de A(1 ; 2) à B(4 ; 3), on avance de +3 et de +1, donc l'image de M(2 ; 5) est M'(2 + 3 ; 5 + 1) = M'(5 ; 6). Retenir : une translation est décrite par sa flèche (direction, sens, longueur), et non par un centre ou un axe ; l'image d'un point A se note A'.

Les erreurs fréquentes

On donne seulement la direction (« vers la droite ») sans préciser le sens et la longueur.

Une flèche de translation porte trois informations : direction, sens ET longueur. Il faut les trois pour définir la translation.

On confond la translation avec une symétrie : on cherche un centre ou un axe.

Une translation n'a ni centre ni axe : elle est décrite par une flèche. On glisse tout point de la même flèche, sans tourner ni retourner la figure.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire une translation par sa flèche : direction, sens et longueur.
• Nommer l'image A' d'un point A ; par la translation qui transforme A en B, l'image de A est B.
• Trouver l'image d'un point avec la même flèche : de A(1 ; 2) à B(4 ; 3), l'image de M(2 ; 5) est M'(5 ; 6).

Vérifie que tu as compris

1. Par la translation qui transforme A en B, quelle est l'image du point A ?

   Réponse Le point B

   La translation qui transforme A en B est justement définie par la flèche de A vers B : l'image de A est donc B.

2. Dans un repère, A(1 ; 2) et B(4 ; 3). Quelle est la « flèche » de la translation qui transforme A en B ?

   Réponse On avance de +3 et de +1

   Pour passer de A(1 ; 2) à B(4 ; 3), l'abscisse augmente de 4 − 1 = 3 et l'ordonnée de 3 − 2 = 1 : la flèche est (+3 ; +1).

3. Une translation est entièrement définie par trois éléments. Lesquels ?

   Réponse Une direction, un sens et une longueur

   Une translation est un glissement : on se donne une direction (la droite suivie), un sens (de quel côté on glisse) et une longueur (de combien). C'est ce que résume la flèche.