Les propriétés conservées par une translation

L'essentiel

Quand on glisse une figure par une translation, elle ne change pas de forme ni de taille : les longueurs restent les mêmes, les angles aussi, l'aire aussi. Ce qui était parallèle reste parallèle, ce qui était aligné reste aligné. La figure et son image sont donc superposables : on pourrait poser l'une exactement sur l'autre.

En plus, la translation ne retourne pas la figure : elle garde le même sens (au contraire de la symétrie axiale, qui agit comme un miroir et inverse le sens).

Comprendre

Une translation est une isométrie : elle conserve les distances. Comme tous les points glissent de la même flèche, deux points A et B et leurs images A' et B' vérifient A'B' = AB : les longueurs sont conservées. Il en découle que les angles sont conservés (les triangles sont superposables), que l'aire est conservée (même forme, même taille), que le parallélisme est conservé (deux droites parallèles ont des images parallèles) et que l'alignement est conservé (trois points alignés ont des images alignées).

Une figure et son image sont donc superposables : on peut faire coïncider l'une avec l'autre par un simple glissement. Une propriété importante distingue la translation de la symétrie axiale : la translation conserve le SENS de la figure (l'ordre des sommets, par exemple dans le sens des aiguilles d'une montre, est le même sur l'image), alors que la symétrie axiale, qui agit comme un miroir, INVERSE ce sens. Concrètement, si l'on désigne un triangle ABC parcouru dans un certain sens, son image A'B'C' par une translation est parcourue dans le même sens ; par une symétrie axiale, elle le serait dans le sens contraire.

C'est pourquoi une translation « glisse » la figure sans jamais la retourner.

Le cours

Une translation conserve toutes les grandeurs géométriques importantes : c'est une isométrie (transformation qui conserve les longueurs). Détaillons les propriétés conservées. Les LONGUEURS : si A' et B' sont les images de A et B, alors A'B' = AB, car les deux points ont glissé de la même flèche.

Les ANGLES : un angle et son image ont la même mesure ; en particulier un angle droit reste droit. L'AIRE : la figure image a la même aire que la figure de départ. Le PARALLÉLISME : deux droites parallèles ont pour images deux droites parallèles ; plus encore, une droite et son image sont parallèles (ou confondues).

L'ALIGNEMENT : si trois points sont alignés, leurs images le sont aussi ; en particulier LES MILIEUX sont conservés — l'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image. Toutes ces conservations font qu'une figure et son image sont SUPERPOSABLES : on peut poser l'une exactement sur l'autre par un glissement. Enfin, la translation conserve le SENS de la figure : elle ne la retourne pas.

C'est la différence essentielle avec la symétrie axiale, qui agit comme un miroir et inverse le sens (l'image « regarde » dans l'autre sens). Ainsi, un « L » translaté reste un « L » identique, alors que son symétrique par rapport à un axe ressemble à un « L » inversé. À retenir : translation = isométrie qui conserve longueurs, angles, aire, parallélisme, alignement, ET le sens de la figure.

Les erreurs fréquentes

On pense qu'une translation peut agrandir, réduire ou déformer la figure.

Une translation est une isométrie : longueurs, angles et aire sont conservés. La figure et son image sont superposables (même forme, même taille).

On confond translation et symétrie axiale : on croit que l'image est « retournée ».

La translation conserve le sens de la figure (elle glisse sans retourner). C'est la symétrie axiale, comme un miroir, qui inverse le sens.

Tu maîtrises la notion si…

• Citer les grandeurs conservées par une translation : longueurs, angles, aire, parallélisme, alignement.
• Justifier qu'une figure et son image sont superposables (isométrie).
• Distinguer translation et symétrie axiale : la translation conserve le sens, la symétrie axiale l'inverse.

Vérifie que tu as compris

1. Que conserve une translation ?

   Réponse Les longueurs, les angles et l'aire

   Une translation est une isométrie : elle conserve les longueurs, les angles, l'aire, le parallélisme et l'alignement. La figure et son image sont superposables.

2. Une figure et son image par une translation sont superposables. Qu'est-ce qui les distingue d'une figure et son image par une symétrie axiale ?

   Réponse La translation conserve l'orientation de la figure ; la symétrie axiale la retourne

   La translation fait GLISSER la figure sans la retourner : on parcourt ses sommets dans le même ordre qu'avant, son orientation est conservée. La symétrie axiale, elle, agit comme un miroir et retourne la figure. Attention : le mot « sens » désigne ailleurs dans le chapitre l'une des trois données de la flèche (direction, sens, longueur) — ce n'est pas de cela qu'il s'agit ici.

3. Le point I est le milieu de [AB]. Que devient-il par une translation ?

   Réponse Son image est le milieu de [A'B']

   Une translation conserve l'alignement et les longueurs : l'image du milieu de [AB] est le milieu du segment image [A'B']. On dit que le milieu est conservé.