Enchaîner deux translations

L'essentiel

Si on glisse une figure une première fois, puis une deuxième fois, le résultat est le même que si on l'avait glissée d'un seul coup : deux translations enchaînées donnent une seule translation. Pour trouver la flèche finale, on met les deux flèches bout à bout (on additionne les déplacements). C'est ce qui se passe dans une frise : le même motif est répété en le glissant toujours de la même flèche.

Dans un pavage, on recouvre le plan en glissant un motif dans plusieurs directions : partout, ce sont des translations.

Comprendre

Enchaîner deux translations, c'est appliquer une translation à une figure, puis appliquer une seconde translation au résultat. Le point important est que le résultat final est toujours une seule translation. Concrètement, si la première translation a pour flèche v1 et la seconde pour flèche v2, alors la translation résultante a pour flèche v1 + v2 : on met les deux flèches bout à bout (la pointe de la première touche l'origine de la seconde), et la flèche qui va du départ de la première à l'arrivée de la seconde est la flèche résultante.

En repère, on additionne simplement les déplacements : une flèche (+2 ; +1) suivie d'une flèche (+3 ; −1) donne la flèche (+5 ; 0). L'ordre des deux translations ne change pas le résultat (on peut les échanger). Ce mécanisme éclaire les frises et les pavages.

Une frise est une bande dans laquelle un même motif se répète en le glissant toujours de la même flèche : passer d'un motif au suivant, c'est une translation ; passer d'un motif au motif « deux crans plus loin », c'est l'enchaînement de deux translations identiques, donc encore une translation (de flèche double). Un pavage recouvre entièrement le plan avec des copies d'un motif obtenues par translations (souvent dans deux directions). Reconnaître ces translations, c'est repérer la flèche qui mène d'un motif à un autre.

Le cours

Enchaîner deux translations signifie appliquer d'abord l'une, puis l'autre. Résultat essentiel : l'enchaînement de deux translations est encore une translation. Si la première a pour flèche v1 et la seconde pour flèche v2, la translation résultante a pour flèche v1 + v2, obtenue en mettant les deux flèches bout à bout : on part de l'origine, on suit v1, puis depuis ce point on suit v2 ; la flèche allant du point de départ au point d'arrivée est la flèche résultante.

En repère, cela revient à additionner les déplacements : (+2 ; +1) puis (+3 ; −1) donne (+2 + 3 ; +1 − 1) = (+5 ; 0). L'ordre n'a pas d'importance : enchaîner v1 puis v2 donne la même chose que v2 puis v1. Applications aux frises et pavages. Une FRISE est un motif répété le long d'une bande, toujours glissé de la même flèche : d'un motif au suivant, c'est une translation ; le motif situé deux positions plus loin est obtenu en enchaînant deux fois cette translation, ce qui est encore une translation (de flèche double).

Un PAVAGE recouvre le plan par des copies d'un même motif, obtenues par translations (généralement selon deux directions différentes). Reconnaître une translation dans une frise ou un pavage, c'est identifier la flèche (direction, sens, longueur) qui transforme un motif en un autre. À retenir : deux translations enchaînées = une seule translation (flèches ajoutées bout à bout) ; les frises et les pavages sont construits par translations.

Les erreurs fréquentes

On pense que deux translations enchaînées donnent une transformation plus compliquée (rotation, etc.).

Deux translations enchaînées donnent toujours UNE SEULE translation, de flèche égale à la somme des deux flèches (mises bout à bout).

Pour trouver la flèche résultante, on additionne mal ou on oublie les signes.

On additionne les déplacements coordonnée par coordonnée, en respectant les signes : (+2 ; +1) puis (+3 ; −1) donne (+5 ; 0).

Tu maîtrises la notion si…

• Justifier que l'enchaînement de deux translations est une seule translation.
• Déterminer la flèche résultante en additionnant les deux flèches : (+2 ; +1) puis (+3 ; −1) donne (+5 ; 0).
• Reconnaître des translations dans une frise ou un pavage et décrire la flèche du motif.

Vérifie que tu as compris

1. Appliquer une translation puis une autre translation revient à...

   Réponse une seule translation

   Enchaîner deux translations revient toujours à une seule translation, dont la flèche est la « somme » des deux flèches (on les met bout à bout).

2. On enchaîne une translation de flèche (+2 ; +1) puis une translation de flèche (+3 ; −1). Quelle est la flèche de la translation résultante ?

   Réponse (+5 ; 0)

   On met les deux flèches bout à bout en additionnant : 2 + 3 = 5 et 1 + (−1) = 0, donc la flèche résultante est (+5 ; 0).

3. Dans une frise, un même motif est répété toujours de la même façon. Quelle transformation fait passer d'un motif au suivant ?

   Réponse Une translation

   Dans une frise, le motif glisse toujours de la même flèche : on passe d'un motif au suivant par une translation, répétée autant de fois qu'il y a de motifs.