Soustraire, c'est ajouter l'opposé

En une phrase

Pour soustraire un relatif, tu remplaces la soustraction par une addition et tu prends l'opposé du nombre à soustraire. Ainsi tu te ramènes toujours à une addition, que tu sais déjà faire.

Comprendre

La règle-clé du chapitre est : soustraire un relatif, c'est ajouter son opposé. L'opposé d'un nombre, c'est le même nombre avec le signe contraire : l'opposé de +5 est −5, l'opposé de −6 est +6. Ainsi, toute soustraction se transforme en addition, et on retombe sur les règles déjà connues. Exemple 1 : 2 − (+5).

L'opposé de +5 est −5, donc 2 − (+5) = 2 + (−5). C'est maintenant une addition de signes différents : 5 − 2 = 3, le plus éloigné de 0 est −5, donc le résultat est −3. Exemple 2 : 4 − (−6). L'opposé de −6 est +6, donc 4 − (−6) = 4 + (+6) = +10. C'est le cas le plus surprenant : soustraire un nombre négatif revient à AJOUTER un nombre positif, ce qui fait AUGMENTER le résultat.

L'erreur classique est d'écrire 4 − (−6) = 4 − 6 = −2, en enlevant simplement les parenthèses sans changer le signe. Or − (−6) n'est pas − 6 mais + 6. Retiens la transformation : on change le − de la soustraction en + ET on prend l'opposé du nombre. Cette règle permet de tout ramener à des additions de relatifs.

Le cours

Soustraire un nombre relatif revient toujours à ajouter son opposé. L'opposé d'un relatif est ce même nombre affecté du signe contraire : l'opposé de +5 est −5, celui de −6 est +6, celui de 0 est 0. Dès qu'on rencontre une soustraction, on la réécrit en addition de l'opposé, puis on applique les règles d'addition (mêmes signes ou signes différents). Exemple 1 : 2 − (+5) = 2 + (−5).

Signes différents : 5 − 2 = 3, plus éloigné de 0 = −5, donc le résultat est −3. Exemple 2 : 4 − (−6) = 4 + (+6) = +10 : soustraire −6 augmente le résultat de 6. Avec des décimaux relatifs, rien ne change : 3,2 − (−1,8) = 3,2 + 1,8 = +5. Ce dernier cas est le plus délicat car il contredit l'intuition « soustraire, c'est diminuer » : soustraire un NÉGATIF augmente. L'erreur la plus fréquente consiste à supprimer les parenthèses sans changer le signe (écrire 4 − 6 au lieu de 4 + 6). La méthode sûre : transformer chaque soustraction en addition de l'opposé AVANT de calculer.

Cette règle est essentielle : elle unifie additions et soustractions et prépare la simplification des sommes algébriques ainsi que le calcul littéral.

Les erreurs fréquentes

On enlève les parenthèses sans changer le signe : 4 − (−6) = 4 − 6 = −2.

Soustraire −6, c'est ajouter son opposé +6 : 4 − (−6) = 4 + 6 = 10. − (−6) donne + 6, pas − 6.

On oublie de prendre l'opposé : 2 − (+5) = 2 + 5 = 7.

Soustraire +5, c'est ajouter son opposé −5 : 2 − (+5) = 2 + (−5) = −3.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que soustraire un relatif revient à ajouter son opposé.
• Transformer 4 − (−6) en 4 + (+6) et trouver 10.
• Transformer 2 − (+5) en 2 + (−5) et trouver −3.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font 4 − (−6) ?

   Réponse 10

   Soustraire, c'est ajouter l'opposé : l'opposé de −6 est +6, donc 4 − (−6) = 4 + 6 = 10 (et non 4 − 6 = −2).

2. Combien font 2 − (+5) ?

   Réponse −3

   Soustraire +5, c'est ajouter son opposé −5 : 2 − (+5) = 2 + (−5) = −3.

3. Que devient un résultat quand on lui soustrait un nombre négatif ?

   Réponse il augmente, car soustraire un négatif revient à ajouter un positif

   Soustraire un négatif revient à ajouter son opposé, qui est positif : par exemple 3 − (−4) = 3 + 4 = 7, un résultat plus grand que 3.