Somme algébrique et problèmes

En une phrase

Beaucoup de situations (température, altitude, argent) se décrivent par des hausses et des baisses. Une hausse s'écrit + , une baisse s'écrit − : tu obtiens une somme algébrique que tu calcules de gauche à droite.

Comprendre

De nombreux problèmes concrets se traduisent par une somme algébrique de relatifs. La clé est de traduire chaque variation par un relatif : une hausse (« monte de », « remonte de », « gagne ») donne un terme positif ; une baisse (« descend de », « perd », « retrait ») donne un terme négatif. On enchaîne ensuite les variations dans l'ordre, de gauche à droite.

Exemple (température) : à 6 h il fait −6 °C ; la température monte de 4 °C, puis redescend de 3 °C. On écrit la somme −6 + 4 − 3. On calcule de gauche à droite : −6 + 4 = −2, puis −2 − 3 = −5. La température finale est −5 °C. Exemple (altitude) : un plongeur est à −12 m, descend de 5 m (− 5), puis remonte de 8 m (+ 8) : −12 − 5 + 8 = −17 + 8 = −9, il est à −9 m.

Exemple (compte bancaire) : un solde de −6 € reçoit un versement de 10 € (+ 10) puis subit un retrait de 4 € (− 4) : −6 + 10 − 4 = 4 − 4 = 0, le solde est 0 €. Le point important est de bien associer chaque mot (hausse/baisse) au bon signe, puis d'enchaîner les opérations une à une, sans tout mélanger. C'est l'aboutissement du chapitre : on applique les règles d'addition et de soustraction des relatifs à des situations réelles.

Le cours

Une somme algébrique est une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs, calculée de gauche à droite. Dans un problème, la première étape est la traduction : chaque augmentation devient un terme positif, chaque diminution un terme négatif, en respectant l'ordre chronologique de l'énoncé. La seconde étape est le calcul, opération après opération.

Exemple (température) : « à −6 °C, la température monte de 4 °C puis descend de 3 °C » donne −6 + 4 − 3 ; de gauche à droite : −6 + 4 = −2, puis −2 − 3 = −5, soit −5 °C. Exemple (altitude) : « un plongeur à −12 m descend de 5 m puis remonte de 8 m » donne −12 − 5 + 8 = −17 + 8 = −9, soit −9 m. Exemple (solde) : « −6 €, versement de 10 € puis retrait de 4 € » donne −6 + 10 − 4 = 0, soit un solde nul.

Deux précautions : associer correctement chaque variation à son signe (une baisse est toujours un −, même si le nombre de départ est déjà négatif), et calculer dans l'ordre, de gauche à droite. Ce concept réinvestit toutes les règles du chapitre (addition de même signe, de signes différents, soustraction par l'opposé) et montre à quoi servent les nombres relatifs dans la vie courante.

Les erreurs fréquentes

On additionne toutes les valeurs comme des positives : pour −6, +4, −3, on écrit 6 + 4 + 3 = 13.

Chaque variation garde son signe : −6 + 4 − 3, soit −6 + 4 = −2 puis −2 − 3 = −5 (°C).

On traduit une baisse par un + : « descend de 3 » écrit + 3.

Une baisse est un terme négatif : « descend de 3 » se traduit par − 3.

Tu maîtrises la notion si…

• Traduire chaque hausse par un + et chaque baisse par un − dans un énoncé.
• Écrire la somme algébrique −6 + 4 − 3 pour une variation de température.
• Calculer la somme de gauche à droite : −6 + 4 − 3 = −5.

Vérifie que tu as compris

1. La température est −6 °C. Elle monte de 4 °C, puis descend de 3 °C. Quelle température finale ?

   Réponse −5 °C

   Somme algébrique −6 + 4 − 3, de gauche à droite : −6 + 4 = −2, puis −2 − 3 = −5. Il fait −5 °C.

2. Un plongeur est à −12 m. Il descend de 5 m, puis remonte de 8 m. À quelle profondeur est-il ?

   Réponse −9 m

   Somme algébrique −12 − 5 + 8, de gauche à droite : −12 − 5 = −17, puis −17 + 8 = −9. Le plongeur est à −9 m.

3. Un ascenseur part du niveau −3. Il monte de 5 niveaux, puis descend de 2 niveaux. À quel niveau arrive-t-il ?

   Réponse niveau 0

   On écrit la somme algébrique −3 + 5 − 2, puis on calcule de gauche à droite : −3 + 5 = +2, puis +2 − 2 = 0. L'ascenseur arrive au niveau 0.