Additionner deux relatifs de signes différents

En une phrase

Quand un nombre est positif et l'autre négatif, tu soustrais leurs distances à 0 (la plus petite ôtée de la plus grande) et le résultat prend le signe du nombre le plus loin de 0. Sur la droite, ce sont deux sauts de sens opposés : le plus long l'emporte.

Comprendre

Lorsque les deux relatifs ont des SIGNES DIFFÉRENTS (un positif, un négatif), la règle change : on ne les additionne plus, on SOUSTRAIT la plus petite distance à 0 de la plus grande, puis on garde le signe du nombre le plus éloigné de 0. Exemple : (+7) + (−4). Les distances sont 7 et 4. On soustrait : 7 − 4 = 3. Le nombre le plus éloigné de 0 est +7 (distance 7 > 4), qui est positif : le résultat est donc positif, (+7) + (−4) = +3. Autre exemple : (−7) + (+4). Les distances sont encore 7 et 4, on soustrait : 7 − 4 = 3 ; mais cette fois le plus éloigné de 0 est −7 (négatif), donc le résultat est négatif : (−7) + (+4) = −3. Sur la droite graduée, on part de 0, on saute de 7 vers la gauche (−7), puis de 4 vers la droite (+4) : les deux sauts sont de sens opposés, on revient un peu vers 0, et on s'arrête à −3, encore à gauche de 0. C'est le saut le plus long (−7) qui « décide » du côté final, donc du signe.

L'erreur la plus courante est d'additionner les distances (7 + 4 = 11) : quand les signes sont différents, on soustrait toujours.

Le cours

Additionner deux relatifs de signes différents demande deux gestes : soustraire les distances à 0 (la plus petite ôtée de la plus grande), puis attribuer au résultat le signe du terme dont la distance à 0 est la plus grande. Exemple 1 : (+7) + (−4). Distances 7 et 4, différence 7 − 4 = 3 ; le plus éloigné de 0 est +7, donc le résultat est +3. Exemple 2 : (−7) + (+4).

Distances 7 et 4, différence 3 ; le plus éloigné est −7, donc le résultat est −3. Exemple 3, où le positif l'emporte : (−3) + (+8), distances 3 et 8, différence 8 − 3 = 5, le plus éloigné est +8, donc +5. Avec des décimaux relatifs, la règle est la même : (+3,2) + (−1,8) a pour distances 3,2 et 1,8, différence 3,2 − 1,8 = 1,4, et le plus éloigné de 0 est +3,2, donc le résultat est +1,4. Cas particulier : si les deux distances sont ÉGALES, la différence est nulle et la somme vaut 0, sans signe — ainsi (+5) + (−5) = 0. On visualise cela sur la droite graduée par deux déplacements de sens opposés (l'un vers la droite, l'autre vers la gauche) : ils se compensent en partie, et c'est le plus long qui détermine de quel côté de 0 on termine — donc le signe. Deux pièges sont à éviter : additionner les distances comme si les signes étaient identiques (erreur de règle), et se tromper de signe en oubliant de regarder quel terme est le plus éloigné de 0. Cette règle, avec celle des signes identiques, permet d'additionner n'importe quels relatifs.

Les erreurs fréquentes

On additionne les distances alors que les signes sont différents : (−7) + (+4) = −11.

Signes différents : on SOUSTRAIT, 7 − 4 = 3, et on garde le signe du plus éloigné de 0 (−7). Donc (−7) + (+4) = −3.

On soustrait bien (7 − 4 = 3) mais on se trompe de signe : (−7) + (+4) = +3.

Le nombre le plus éloigné de 0 est −7 (distance 7 > 4) : le résultat est négatif, −3.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que, pour deux relatifs de signes différents, on soustrait les distances et on garde le signe du plus éloigné de 0.
• Calculer (+7) + (−4) = +3 et (−7) + (+4) = −3.
• Représenter l'addition de deux relatifs de signes différents comme deux sauts opposés, le plus long décidant du signe.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (+7) + (−4) ?

   Réponse +3

   Signes différents : on soustrait les distances (7 − 4 = 3) et on garde le signe du plus éloigné de 0, ici +7. Donc (+7) + (−4) = +3.

2. Combien font (−9) + (+2) ?

   Réponse −7

   Signes différents : 9 − 2 = 7, et le plus éloigné de 0 est −9 (négatif). Donc (−9) + (+2) = −7.

3. En ajoutant +6 à −15, on obtient :

   Réponse −9

   Les signes sont différents : on soustrait les distances (15 − 6 = 9) et on garde le signe du terme le plus éloigné de 0, ici −15. Le résultat est −9.