Enchaîner et simplifier l'écriture

En une phrase

Une suite de + et de − avec des parenthèses peut s'écrire plus simplement : + (−7) devient − 7, − (−2) devient + 2. Tu obtiens une somme algébrique, que tu calcules de gauche à droite.

Comprendre

Un calcul comme (+3) + (−7) − (−2) est encombré de parenthèses et de signes. On peut le simplifier grâce à deux règles déjà connues : « + (nombre) » garde le signe du nombre, et « − (nombre) » prend son opposé. Concrètement : + (−7) s'écrit − 7 (on ajoute un négatif) ; − (−2) s'écrit + 2 (soustraire l'opposé revient à ajouter).

L'expression (+3) + (−7) − (−2) devient donc 3 − 7 + 2 : c'est une SOMME ALGÉBRIQUE, sans parenthèses. On la calcule ensuite de gauche à droite, comme une suite d'additions et de soustractions : 3 − 7 = −4, puis −4 + 2 = −2. Le résultat est −2. La règle pratique de suppression des parenthèses : + (+a) → + a ; + (−a) → − a ; − (+a) → − a ; − (−a) → + a. Autrement dit, deux signes identiques qui se suivent donnent +, deux signes contraires donnent −.

L'erreur fréquente est de mal transformer le dernier terme, par exemple écrire − (−2) = − 2 au lieu de + 2. Simplifier l'écriture rend le calcul plus rapide et prépare le calcul littéral.

Le cours

Simplifier l'écriture d'une suite d'additions et de soustractions consiste à supprimer les parenthèses et les signes superflus pour obtenir une somme algébrique, puis à calculer de gauche à droite. On utilise les règles de suppression des parenthèses : + (+a) devient + a ; + (−a) devient − a ; − (+a) devient − a ; − (−a) devient + a. On peut les résumer ainsi : deux signes identiques à la suite donnent +, deux signes contraires donnent −.

Exemple : (+3) + (−7) − (−2). On transforme : + (−7) devient − 7, et − (−2) devient + 2. On obtient la somme algébrique 3 − 7 + 2. On calcule alors de gauche à droite (car + et − ont la même priorité) : 3 − 7 = −4, puis −4 + 2 = −2. Autre exemple : (−5) − (−8) + (−3) devient −5 + 8 − 3, soit −5 + 8 = 3 puis 3 − 3 = 0. Avec des décimaux relatifs, la méthode est identique : (−1,5) − (−2,5) + (−0,5) devient −1,5 + 2,5 − 0,5, soit −1,5 + 2,5 = 1 puis 1 − 0,5 = 0,5. Il faut se méfier de la transformation du signe : − (−2) donne + 2 (et non − 2), sans quoi le résultat est faux. Cette réécriture allège les calculs et constitue une étape indispensable vers le calcul littéral, où l'on manipulera des sommes du même type avec des lettres.

Les erreurs fréquentes

On transforme mal le dernier terme : (+3) + (−7) − (−2) = 3 − 7 − 2 = −6.

− (−2) donne + 2, pas − 2 : l'écriture correcte est 3 − 7 + 2 = −2.

Arrivé à 3 − 7 + 2, on additionne 7 + 2 avant de soustraire : 3 − 9 = −6.

+ et − ont la même priorité : de gauche à droite, 3 − 7 = −4, puis −4 + 2 = −2.

Tu maîtrises la notion si…

• Supprimer les parenthèses : + (−7) → − 7 et − (−2) → + 2.
• Écrire (+3) + (−7) − (−2) sous la forme 3 − 7 + 2.
• Calculer la somme algébrique de gauche à droite : 3 − 7 + 2 = −2.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est l'écriture simplifiée de (+3) + (−7) − (−2) ?

   Réponse 3 − 7 + 2

   On supprime les parenthèses : + (−7) devient − 7 et − (−2) devient + 2. L'écriture simplifiée est 3 − 7 + 2.

2. Combien font (+3) + (−7) − (−2) ?

   Réponse −2

   On simplifie en 3 − 7 + 2, puis de gauche à droite : 3 − 7 = −4, puis −4 + 2 = −2 (le −6 vient de l'erreur − (−2) = − 2).

3. Quelle expression s'écrit aussi 6 − 4 − 9 ?

   Réponse (+6) − (+4) + (−9)

   On supprime les parenthèses : − (+4) devient − 4 et + (−9) devient − 9. L'expression (+6) − (+4) + (−9) s'écrit donc bien 6 − 4 − 9, qui vaut −7.