Additionner deux relatifs de même signe

En une phrase

Quand les deux nombres ont le même signe (les deux positifs ou les deux négatifs), tu additionnes leurs distances à 0, et le résultat garde ce signe commun. Sur la droite graduée, ce sont deux sauts dans le même sens.

Comprendre

La distance à 0 d'un relatif, c'est le nombre sans son signe : la distance de −5 est 5, celle de +3 est 3. Pour additionner deux relatifs DE MÊME SIGNE, la règle est simple : on additionne les distances à 0, et on garde le signe commun aux deux nombres. Exemple avec deux positifs : (+3) + (+5). Les distances sont 3 et 5, on les additionne : 3 + 5 = 8. Les deux nombres sont positifs, le résultat est donc positif : (+3) + (+5) = +8. Exemple avec deux négatifs : (−3) + (−5).

On additionne encore les distances, 3 + 5 = 8, mais cette fois les deux nombres sont négatifs, donc le résultat est négatif : (−3) + (−5) = −8. Sur la droite graduée, cela se voit très bien : additionner (−3) puis (−5), c'est faire deux sauts VERS LA GAUCHE (le même sens), un de 3 puis un de 5 ; on avance donc de 3 + 5 = 8 unités vers la gauche et on arrive à −8. L'erreur classique est de soustraire les distances (5 − 3 = 2) alors qu'elles sont de même signe : quand les signes sont identiques, on ADDITIONNE toujours les distances. Cette règle est la base de tout le calcul sur les relatifs.

Le cours

Additionner deux nombres relatifs de même signe suit une règle unique : on additionne leurs distances à 0 — le nombre sans son signe, ce qu'on appelle sa valeur absolue — et on conserve le signe commun. Lorsque les deux nombres sont positifs, le résultat est positif ; lorsque les deux sont négatifs, le résultat est négatif. Exemple 1 : (+3) + (+5).

Distances 3 et 5, somme 3 + 5 = 8, signe commun + : le résultat est +8. Exemple 2 : (−3) + (−5). Distances 3 et 5, somme 3 + 5 = 8, signe commun − : le résultat est −8. La règle vaut telle quelle pour les nombres décimaux relatifs : (−2,5) + (−1,5) a pour distances 2,5 et 1,5, dont la somme est 4, et le signe commun est − : le résultat est −4. On peut interpréter cette règle sur la droite graduée : ajouter un relatif, c'est se déplacer de sa distance dans le sens de son signe (vers la droite pour un positif, vers la gauche pour un négatif). Deux relatifs de même signe donnent donc deux déplacements dans le même sens, qui s'additionnent : partant de −3, un saut de 5 vers la gauche mène à −8. Il faut se garder d'une erreur fréquente : soustraire les distances quand les signes sont identiques.

La soustraction des distances ne concerne que les signes DIFFÉRENTS (concept suivant). Tant que les deux signes sont les mêmes, on additionne les distances et on garde le signe. Cette règle prépare toutes les autres opérations sur les relatifs.

Les erreurs fréquentes

On soustrait les distances alors que les signes sont identiques : (−3) + (−5) = −2.

Signes identiques : on ADDITIONNE les distances, 3 + 5 = 8, et on garde le signe −. Donc (−3) + (−5) = −8.

On additionne bien les distances mais on change le signe : (−3) + (−5) = +8.

Les deux nombres sont négatifs : le résultat garde ce signe commun, il est négatif. (−3) + (−5) = −8.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que, pour deux relatifs de même signe, on additionne les distances à 0 et on garde le signe commun.
• Calculer (+3) + (+5) = +8 et (−3) + (−5) = −8.
• Représenter l'addition de deux négatifs comme deux sauts vers la gauche sur la droite graduée.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (−3) + (−5) ?

   Réponse −8

   Même signe : on additionne les distances à 0 (3 + 5 = 8) et on garde le signe commun −. Donc (−3) + (−5) = −8 (et non −2, qui reviendrait à soustraire les distances).

2. Combien font (+6) + (+7) ?

   Réponse +13

   Deux positifs : on additionne les distances (6 + 7 = 13) et on garde le signe +. Donc (+6) + (+7) = +13.

3. Quelle égalité est correcte ?

   Réponse (−6) + (−9) = −15

   Les deux nombres ont le même signe : on additionne les distances à 0 (6 + 9 = 15) et on garde le signe commun −, soit −15. Soustraire les distances (−3) ou changer le signe (+15) sont les deux erreurs classiques.