Somme de deux vecteurs et relation de Chasles (→AB + →BC = →AC)

L'essentiel

On peut ADDITIONNER deux vecteurs. L'idée est celle d'un enchaînement de déplacements : si je vais d'abord de A vers B (vecteur →AB), puis de B vers C (vecteur →BC), au total je suis allé de A vers C. C'est la RELATION DE CHASLES : →AB + →BC = →AC. Le point de « raccord » (ici B) est l'extrémité du premier vecteur ET l'origine du second : c'est ce qui permet d'enchaîner.

Pour additionner deux vecteurs, on les place donc BOUT À BOUT : la pointe du premier est le départ du second, et la somme est la flèche qui va du tout début (A) jusqu'au tout dernier bout (C). Une bonne façon de retenir : dans →AB + →BC, le B « du milieu » disparaît, et il reste →AC (le premier point A et le dernier point C). Chasles est un outil de SIMPLIFICATION : dès qu'on repère une somme où l'extrémité d'un vecteur est l'origine du suivant, on peut la remplacer par un seul vecteur.

Par exemple →EF + →FG = →EG, ou →MN + →NP = →MP. Attention : Chasles ne s'applique directement QUE si les vecteurs s'enchaînent (le second part de là où le premier arrive). Si les deux vecteurs partent du même point (comme →AB + →AD), ils ne se suivent pas : on verra alors une autre méthode, la règle du parallélogramme.

Comprendre

La somme de deux vecteurs qui s'enchaînent est donnée par la relation de Chasles : →AB + →BC = →AC. Interprétation : additionner deux vecteurs, c'est enchaîner deux déplacements bout à bout — de A à B puis de B à C revient à aller de A à C. Le point intermédiaire (B) doit être à la fois l'extrémité du premier vecteur et l'origine du second : c'est la condition d'application de Chasles. Moyen mnémotechnique : dans →AB + →BC, le point du milieu B « se simplifie » et il reste →AC (origine du premier, extrémité du second).

Chasles est avant tout un outil de SIMPLIFICATION de sommes : →EF + →FG = →EG, →MN + →NP = →MP, etc. Condition importante : les deux vecteurs doivent s'enchaîner. Si les vecteurs partent du même point (→AB + →AD), Chasles ne s'applique pas directement — on complète alors le parallélogramme (VTR_3E_004).

Erreurs classiques : croire que →AB + →BC = →BC ou un autre point (on garde le premier et le dernier point, A et C) ; vouloir appliquer Chasles à deux vecteurs qui ne s'enchaînent pas (mêmes origines) ; oublier que l'ordre des lettres au raccord doit coïncider (extrémité = origine). Ce concept prolonge l'égalité de vecteurs (VTR_3E_002) et fonde la construction de la somme (VTR_3E_004) ainsi que le calcul par coordonnées (VTR_3E_005).

Le cours

SOMME DE DEUX VECTEURS ET RELATION DE CHASLES. Additionner deux vecteurs. Additionner deux vecteurs, c'est enchaîner deux déplacements.

Si l'on effectue le déplacement →AB (de A à B), puis le déplacement →BC (de B à C), le déplacement total va de A à C : c'est le vecteur →AC. La relation de Chasles. On écrit : →AB + →BC = →AC.

C'est LA relation fondamentale de l'addition des vecteurs. Le point de raccord. Pour additionner ainsi, il faut que l'extrémité du premier vecteur (B) soit l'ORIGINE du second (B aussi) : les deux vecteurs s'enchaînent « bout à bout ».

La somme est alors le vecteur qui part de l'origine du premier (A) et arrive à l'extrémité du second (C). Le truc de mémorisation. Dans →AB + →BC, le B du « milieu » se simplifie ; il reste le premier point et le dernier : →AC.

De même →EF + →FG = →EG et →MN + →NP = →MP. Méthode — construire la somme (bout à bout). (1) Tracer le premier vecteur →AB. (2) À partir de son extrémité B, tracer le second vecteur →BC (on le reporte : même direction, même sens, même longueur que le vecteur à ajouter). (3) La somme est la flèche →AC, du départ A à l'arrivée C. Méthode — simplifier une somme. Dès qu'on repère une écriture du type →AB + →BC (l'extrémité de l'un est l'origine de l'autre), on la remplace par un seul vecteur →AC.

C'est très utile pour réduire des expressions vectorielles. Attention aux vecteurs de même origine. Chasles ne s'applique directement QUE lorsque les vecteurs s'enchaînent.

Deux vecteurs qui partent du même point, comme →AB + →AD, ne se suivent pas : on ne peut pas simplifier tout de suite. On utilisera alors la règle du parallélogramme (concept suivant), qui revient d'ailleurs à Chasles une fois qu'on a remarqué que →AD = →BC. Points de vigilance. (1) On garde l'origine du premier et l'extrémité du second (→AB + →BC = →AC, pas →BC ni →CA). (2) Vérifier le raccord : l'extrémité du premier doit être l'origine du second. (3) Ne pas appliquer Chasles à deux vecteurs de même origine sans transformation.

À retenir : →AB + →BC = →AC (relation de Chasles) : on enchaîne bout à bout, le point du milieu se simplifie.

Les erreurs fréquentes

On écrit →AB + →BC = →BC (ou →CA), en gardant le mauvais point.

La relation de Chasles donne →AB + →BC = →AC : on garde l'ORIGINE du premier vecteur (A) et l'EXTRÉMITÉ du second (C). Le point du milieu (B) se simplifie. →CA irait dans le sens opposé.

On applique Chasles à deux vecteurs qui ne s'enchaînent pas, par exemple →AB + →AC.

Chasles exige que l'extrémité du premier vecteur soit l'origine du second (comme dans →AB + →BC). Dans →AB + →AC, les deux vecteurs partent de A : ils ne s'enchaînent pas. On utilise alors la règle du parallélogramme.

On additionne les vecteurs comme des longueurs (→AB + →BC = AB + BC).

La somme de deux vecteurs est un VECTEUR, pas un nombre. →AB + →BC = →AC est un vecteur ; sa longueur AC n'est pas, en général, égale à AB + BC (sauf si A, B, C sont alignés dans le bon ordre).

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer et appliquer la relation de Chasles : →AB + →BC = →AC.
• Simplifier une somme de vecteurs qui s'enchaînent (→EF + →FG = →EG) en repérant le point de raccord.
• Reconnaître que Chasles ne s'applique directement qu'à des vecteurs enchaînés (extrémité de l'un = origine de l'autre), pas à des vecteurs de même origine.

Vérifie que tu as compris

1. Que vaut la somme →AB + →BC d'après la relation de Chasles ?

   Réponse →AC

   La relation de Chasles : →AB + →BC = →AC. On enchaîne les deux déplacements : de A à B, puis de B à C, ce qui revient à aller directement de A à C. Elle s'applique quand l'extrémité du premier vecteur (B) est l'origine du second.

2. En utilisant la relation de Chasles, à quoi est égale la somme →EF + →FG ?

   Réponse →EG

   L'extrémité du premier vecteur (F) est l'origine du second : on peut appliquer Chasles. →EF + →FG = →EG. On garde l'origine du premier (E) et l'extrémité du second (G) ; le point intermédiaire F « disparaît ».

3. Que vaut la somme →AB + →BA ?

   Réponse le vecteur nul

   D'après la relation de Chasles, →AB + →BA = →AA. Aller de A à B puis revenir de B à A ramène au point de départ : le déplacement total est nul. →AA est le vecteur nul, de longueur 0, sans direction ni sens propres.