La translation et le vecteur →AB

L'essentiel

En 4e, une translation faisait glisser une figure suivant une « flèche ». En 3e, cette flèche devient un vrai objet mathématique : le VECTEUR. Une translation qui transforme un point A en un point B est décrite par le vecteur →AB (on lit « vecteur AB », et la petite flèche est TOUJOURS de A vers B).

Un vecteur possède TROIS caractéristiques, à retenir ensemble : la DIRECTION (celle de la droite (AB), c'est-à-dire l'inclinaison de la flèche), le SENS (de A vers B, et pas de B vers A : c'est la pointe de la flèche), et la LONGUEUR, aussi appelée NORME (la distance AB, c'est-à-dire de combien on glisse). Changer une seule de ces trois choses change le vecteur. Le vecteur →BA, par exemple, a la même direction et la même longueur que →AB, mais le sens OPPOSÉ : ce n'est pas le même vecteur.

Le point fort du vecteur : il s'applique à TOUS les points de la même façon. Si M' est l'image de M par la translation de vecteur →AB, alors →MM' = →AB. Autrement dit, pour aller de M à M', on suit exactement la même flèche que pour aller de A à B : même direction, même sens, même longueur.

Le vecteur est donc la « carte d'identité » du glissement : il ne dépend pas d'où on le dessine, mais seulement de la direction, du sens et de la longueur.

Comprendre

Ce concept fait passer de la translation (connue en 4e) à l'objet qui la décrit : le VECTEUR. Idée centrale : une translation qui transforme A en B est décrite par le vecteur →AB. Trois caractéristiques définissent un vecteur — DIRECTION (droite (AB) et ses parallèles), SENS (de A vers B) et LONGUEUR / norme (distance AB) —, et il faut les trois pour que deux flèches soient « le même vecteur ».

Le sens est capital : →AB et →BA ont même direction et même longueur mais sont de sens opposés, donc →BA ≠ →AB. Propriété d'action : le vecteur s'applique à tout point identiquement — M' image de M par la translation de vecteur →AB vérifie →MM' = →AB. On reporte donc la même flèche partout.

Pour déterminer l'image M' d'un point M : à partir de M, on reproduit la direction, le sens et la longueur de →AB, et le bout de la flèche est M'. Erreurs classiques : confondre →AB et →BA (mauvais sens) ; croire qu'un vecteur est « attaché » à un endroit précis alors qu'il ne dépend que de direction/sens/longueur ; réduire le vecteur à sa seule longueur. Ce concept est la fondation du chapitre : l'égalité de vecteurs (VTR_3E_002), la somme et Chasles (VTR_3E_003, VTR_3E_004) puis les coordonnées (VTR_3E_005) reposent tous sur cette définition « direction + sens + longueur ».

Le cours

LA TRANSLATION ET LE VECTEUR →AB. Rappel de 4e. Une translation fait GLISSER toute une figure d'un même mouvement, décrit par une « flèche » : on la donnait par une direction, un sens et une longueur.

Le vecteur. En 3e, cette flèche devient un objet nommé : le VECTEUR. Une translation qui transforme le point A en le point B est décrite par le vecteur →AB (on note une petite flèche au-dessus de AB, toujours orientée de A vers B).

Les trois caractéristiques d'un vecteur. (1) La DIRECTION : c'est celle de la droite (AB) — l'inclinaison de la flèche (horizontale, verticale, oblique…). Toutes les droites parallèles à (AB) ont la même direction. (2) Le SENS : sur cette direction, on va de A VERS B (la pointe de la flèche indique le sens). Le sens opposé irait de B vers A. (3) La LONGUEUR, ou NORME : c'est la distance AB, c'est-à-dire « de combien » on glisse.

Deux flèches ne représentent LE MÊME vecteur que si ces trois caractéristiques coïncident. Attention à →BA. Le vecteur →BA a la même direction et la même longueur que →AB, mais le SENS opposé : →BA ≠ →AB.

L'ordre des lettres compte. Le vecteur agit sur tous les points. La force d'un vecteur : il décrit le glissement de TOUT point de la même manière.

Si M' est l'image de M par la translation de vecteur →AB, alors →MM' = →AB : la flèche de M à M' est identique à la flèche de A à B (même direction, même sens, même longueur). Méthode — construire l'image M' d'un point M. (1) Repérer la direction, le sens et la longueur de →AB. (2) À partir de M, tracer une flèche de MÊME direction, MÊME sens et MÊME longueur. (3) La pointe de cette flèche est M', l'image cherchée. On a alors →MM' = →AB.

Un vecteur n'est pas « attaché » à un point. Le même vecteur →AB peut être dessiné n'importe où dans le plan : ce qui le définit, ce n'est pas sa position, mais sa direction, son sens et sa longueur. Points de vigilance. (1) Ne pas confondre →AB et →BA : l'ordre des lettres donne le sens. (2) Un vecteur, ce n'est pas seulement une longueur : direction et sens comptent autant. (3) Le vecteur n'a pas de position fixe ; on peut le reporter où l'on veut.

À retenir : une translation A→B est décrite par le vecteur →AB (direction, sens, longueur) ; M' image de M vérifie →MM' = →AB.

Les erreurs fréquentes

On confond →AB et →BA : on croit que ce sont le même vecteur.

→AB et →BA ont la même direction et la même longueur, mais des SENS opposés : →BA ≠ →AB. L'ordre des lettres donne le sens : →AB va de A vers B. La flèche est toujours orientée de la première lettre vers la seconde.

On pense qu'un vecteur est défini par sa seule longueur (« de combien on glisse »).

Un vecteur possède TROIS caractéristiques : direction, sens ET longueur. Deux flèches de même longueur mais de directions différentes ne représentent pas le même vecteur. Il faut les trois pour définir un vecteur.

On croit que le vecteur est « attaché » au point A et qu'on ne peut pas le dessiner ailleurs.

Un vecteur n'a pas de position fixe : ce qui le définit, c'est sa direction, son sens et sa longueur, pas l'endroit où on le trace. On peut reporter le même vecteur →AB en n'importe quel point du plan.

Tu maîtrises la notion si…

• Décrire la translation qui transforme A en B par le vecteur →AB et énoncer ses trois caractéristiques : direction, sens et longueur (norme).
• Distinguer →AB de →BA (même direction et même longueur, mais sens opposés).
• Déterminer l'image M' d'un point M par la translation de vecteur →AB en reportant la même flèche : →MM' = →AB.

Vérifie que tu as compris

1. Une translation transforme A en B. Par quoi est-elle décrite, et par quelles trois caractéristiques ?

   Réponse le vecteur →AB : direction, sens et longueur

   Une translation qui transforme A en B est décrite par le vecteur →AB (de A vers B). Un vecteur possède trois caractéristiques : une DIRECTION (celle de la droite (AB)), un SENS (de A vers B) et une LONGUEUR (la distance AB). Le vecteur →BA aurait le sens opposé.

2. M' est l'image de M par la translation de vecteur →AB. Quelle égalité de vecteurs traduit ce fait ?

   Réponse →MM' = →AB

   La translation de vecteur →AB applique à TOUT point la même flèche. L'image M' de M vérifie donc →MM' = →AB : le déplacement de M vers M' est exactement le vecteur →AB (même direction, même sens, même longueur).

3. Quelle est l'image d'un segment [MN] par une translation ?

   Réponse un segment [M'N'] de même longueur, parallèle à [MN]

   Une translation fait glisser toute la figure suivant le même vecteur : elle conserve les longueurs, les angles et les directions. L'image de [MN] est donc un segment [M'N'] de même longueur que [MN] et parallèle à lui (ou porté par la même droite), avec →MM' = →NN'.