Égalité de deux vecteurs (→AB = →CD ⟺ ABDC parallélogramme)

L'essentiel

Deux vecteurs →AB et →CD sont ÉGAUX quand ils ont les mêmes trois caractéristiques : la même DIRECTION, le même SENS et la même LONGUEUR. Peu importe où ils sont dessinés : si les flèches « se ressemblent » exactement (même inclinaison, même orientation, même taille), les vecteurs sont égaux. Il existe une façon très pratique de reconnaître deux vecteurs égaux à partir d'une figure : la propriété du PARALLÉLOGRAMME. →AB = →CD si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

Attention, l'ordre des sommets est PIÉGEUX : c'est ABDC (A, B, D, C), et surtout PAS ABCD. Pourquoi cet ordre ? Parce que dire →AB = →CD, c'est dire que [AB] et [CD] sont parallèles, de même longueur ET de même sens : en parcourant A → B → D → C, on fait bien le tour d'un parallélogramme.

Une autre manière équivalente de le dire : →AB = →CD si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont le MÊME MILIEU (les diagonales du parallélogramme ABDC se coupent en leur milieu). C'est un critère très utile pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, ou pour placer un point manquant. Le réflexe à prendre : dès qu'on lit « →AB = →CD », on peut traduire par « ABDC est un parallélogramme » — et inversement.

Comprendre

L'égalité de deux vecteurs formalise l'idée « même flèche ». →AB = →CD signifie : même direction, même sens et même longueur. La caractérisation géométrique centrale du chapitre : →AB = →CD ⟺ ABDC est un PARALLÉLOGRAMME. L'ordre des sommets ABDC est essentiel et contre-intuitif — ce n'est PAS ABCD.

Raison : →AB = →CD impose que [AB] et [CD] soient parallèles, de même longueur et de même sens ; le quadrilatère qui a [AB] et [CD] comme côtés « parallèles et égaux » orientés dans le même sens est ABDC (on lit les sommets dans l'ordre A, B, D, C). Formulation équivalente très utile : →AB = →CD ⟺ [AD] et [BC] ont le même milieu (les diagonales de ABDC se coupent en leur milieu). Usages : démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, construire un point image, justifier une égalité de vecteurs.

Erreurs classiques : écrire ABCD au lieu de ABDC (piège d'ordre) ; croire →AB = →CD alors que les sens sont opposés (même direction, même longueur, mais →CD dans l'autre sens : c'est faux) ; oublier que la position dans le plan n'intervient pas. Ce concept prolonge la définition du vecteur (VTR_3E_001) et prépare la somme : dans la règle du parallélogramme (VTR_3E_004), on utilisera précisément →AD = →BC.

Le cours

ÉGALITÉ DE DEUX VECTEURS. Définition. Deux vecteurs →AB et →CD sont ÉGAUX, et l'on écrit →AB = →CD, lorsqu'ils ont : la même DIRECTION, le même SENS et la même LONGUEUR.

Ce sont exactement les trois caractéristiques d'un vecteur : deux vecteurs égaux sont « la même flèche », reportée éventuellement à un autre endroit. La position ne compte pas. Comme un vecteur n'a pas de position fixe, deux flèches situées à des endroits différents du plan peuvent parfaitement représenter le même vecteur : il suffit que direction, sens et longueur coïncident.

La propriété du parallélogramme. Sur une figure, on reconnaît deux vecteurs égaux grâce à un parallélogramme : →AB = →CD ⟺ ABDC est un PARALLÉLOGRAMME. L'ordre des sommets.

Il faut lire A, B, D, C (ABDC) — et non ABCD. En effet, →AB = →CD veut dire que l'on va « de A vers B » exactement comme « de C vers D » : les côtés [AB] et [CD] sont parallèles, de même longueur et parcourus dans le même sens. Le quadrilatère dont les sommets se suivent A → B → D → C est alors un parallélogramme.

Écrire ABCD serait une erreur d'ordre classique. Caractérisation par les milieux. Une formulation équivalente, souvent plus pratique pour démontrer : →AB = →CD ⟺ les segments [AD] et [BC] ont le même MILIEU.

C'est simplement le fait que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu (les diagonales de ABDC sont [AD] et [BC]). Méthode — montrer que →AB = →CD. Trois pistes équivalentes : (1) vérifier même direction, même sens, même longueur ; (2) montrer que ABDC est un parallélogramme ; (3) montrer que [AD] et [BC] ont le même milieu.

Méthode — placer un point. Si l'on cherche D tel que →AB = →CD, on complète le parallélogramme ABDC : D est le point tel que ABDC soit un parallélogramme. Points de vigilance. (1) Respecter l'ordre ABDC (jamais ABCD). (2) Le sens compte : deux flèches parallèles et de même longueur mais de sens opposés ne sont PAS égales (→AB = →CD, pas →AB = →DC). (3) La position dans le plan n'intervient pas dans l'égalité.

À retenir : →AB = →CD (même direction, même sens, même longueur) ⟺ ABDC est un parallélogramme ⟺ [AD] et [BC] ont le même milieu.

Les erreurs fréquentes

On écrit « →AB = →CD ⟺ ABCD est un parallélogramme » (mauvais ordre des sommets).

L'ordre correct est ABDC : →AB = →CD ⟺ ABDC est un parallélogramme. On lit A, B, D, C. Avec ABCD, ce serait →AB = →DC (sens opposé sur le second côté), ce qui est différent.

On croit que →AB = →CD dès que [AB] et [CD] ont la même longueur et sont parallèles, sans regarder le sens.

Il faut aussi le même SENS. Deux flèches parallèles et de même longueur mais de sens opposés donnent →AB = →DC (et non →AB = →CD). Le sens fait partie de la définition de l'égalité de deux vecteurs.

On pense que deux vecteurs ne peuvent être égaux que s'ils partent du même point.

Un vecteur n'a pas de position fixe : →AB = →CD même si A, B, C, D sont quatre points distincts. Seules la direction, le sens et la longueur comptent, pas l'endroit où la flèche est dessinée.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que →AB = →CD signifie même direction, même sens et même longueur.
• Traduire →AB = →CD par « ABDC est un parallélogramme » en respectant l'ordre des sommets (ABDC, pas ABCD).
• Utiliser la caractérisation par les milieux : →AB = →CD ⟺ [AD] et [BC] ont le même milieu, pour démontrer un parallélogramme ou placer un point.

Vérifie que tu as compris

1. Quand dit-on que deux vecteurs →AB et →CD sont ÉGAUX ?

   Réponse quand ils ont même direction, même sens et même longueur

   Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont la MÊME direction, le MÊME sens et la MÊME longueur, où qu'ils soient dessinés. La position dans le plan ne compte pas : seule la « flèche » (direction, sens, longueur) définit le vecteur.

2. On sait que →AB = →CD. Quel quadrilatère est alors un parallélogramme ?

   Réponse ABDC

   →AB = →CD équivaut à : ABDC est un parallélogramme (attention à l'ordre des sommets : A, B, D, C). C'est aussi équivalent à dire que [AD] et [BC] ont le même milieu. L'ordre ABCD serait faux : ce n'est pas lui qui correspond à →AB = →CD.

3. On sait que →AB = →CD. Que peut-on dire des segments [AB] et [CD] ?

   Réponse ils ont la même longueur et sont parallèles

   Deux vecteurs égaux ont même direction, même sens et même longueur. Les segments [AB] et [CD] sont donc parallèles (ou portés par la même droite) et de même longueur : AB = CD. Ils n'ont en revanche pas le même milieu : ce sont [AD] et [BC] qui, eux, ont le même milieu.