Coordonnées d'un vecteur dans un repère

L'essentiel

Jusqu'ici, on travaillait avec des flèches sur une figure. Dans un REPÈRE (avec des axes gradués), un vecteur reçoit des COORDONNÉES, et tout devient du calcul. Pour un vecteur →AB, avec A(xA ; yA) et B(xB ; yB), les coordonnées sont : →AB (xB − xA ; yB − yA).

Autrement dit, on prend les coordonnées de l'EXTRÉMITÉ (le point d'arrivée B) et on SOUSTRAIT celles de l'ORIGINE (le point de départ A). La première coordonnée dit « de combien on se déplace horizontalement » (vers la droite si elle est positive, vers la gauche si négative) ; la seconde, « de combien verticalement » (vers le haut si positive, vers le bas si négative). Exemple : A(1 ; 2) et B(4 ; 6).

On calcule →AB (4 − 1 ; 6 − 2) = (3 ; 4). Cela veut dire : pour aller de A à B, on avance de 3 vers la droite et de 4 vers le haut. Attention au SENS de la soustraction : c'est extrémité MOINS origine (B − A), pas l'inverse.

Le vecteur →BA aurait pour coordonnées (−3 ; −4). Avec les coordonnées, deux règles simples. (1) ADDITION : on additionne deux vecteurs en additionnant leurs coordonnées, chacune de son côté : (3 ; 4) + (1 ; −2) = (3 + 1 ; 4 + (−2)) = (4 ; 2). Attention aux signes : 4 + (−2) = 2. (2) ÉGALITÉ : deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les MÊMES coordonnées.

Les coordonnées transforment donc toute la géométrie des vecteurs en simple calcul sur les nombres.

Comprendre

Dans un repère, un vecteur →AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA) : extrémité moins origine. Chaque coordonnée est un déplacement (horizontal puis vertical), avec un signe (droite/haut positif, gauche/bas négatif). Exemple de référence : A(1 ; 2), B(4 ; 6) donnent →AB (4 − 1 ; 6 − 2) = (3 ; 4).

Le sens de la soustraction est capital : B − A, pas A − B ; →BA a les coordonnées opposées (−3 ; −4). Deux règles de calcul. ADDITION : les coordonnées de la somme sont les sommes des coordonnées, coordonnée par coordonnée : (3 ; 4) + (1 ; −2) = (3 + 1 ; 4 + (−2)) = (4 ; 2) — attention à l'addition d'un nombre négatif.

ÉGALITÉ : deux vecteurs sont égaux ⟺ ils ont les mêmes coordonnées. Ces règles rendent calculatoires l'égalité (VTR_3E_002) et la somme (VTR_3E_003, VTR_3E_004) : on n'a plus besoin de figure. Erreurs classiques : soustraire dans le mauvais sens (xA − xB) ; oublier le signe de la deuxième coordonnée dans une addition (4 + (−2) = 2, pas 6) ; confondre coordonnées d'un point et coordonnées d'un vecteur.

Ce concept clôt le chapitre : il donne l'outil de calcul qui unifie tout ce qui précède (décrire, égaler, additionner) et fait le pont avec le travail dans le plan repéré.

Le cours

COORDONNÉES D'UN VECTEUR DANS UN REPÈRE. Le cadre. On se place dans un REPÈRE du plan (deux axes gradués).

Chaque point a des coordonnées (abscisse ; ordonnée). Un vecteur va aussi recevoir des coordonnées, ce qui permettra de tout calculer. Coordonnées de →AB.

Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors le vecteur →AB a pour coordonnées : →AB (xB − xA ; yB − yA). On soustrait les coordonnées de l'ORIGINE A à celles de l'EXTRÉMITÉ B : extrémité MOINS origine. Lecture des coordonnées.

La première coordonnée est le déplacement HORIZONTAL (positive = vers la droite, négative = vers la gauche) ; la seconde est le déplacement VERTICAL (positive = vers le haut, négative = vers le bas). Exemple. A(1 ; 2) et B(4 ; 6). →AB (4 − 1 ; 6 − 2) = (3 ; 4).

Interprétation : de A à B, on avance de 3 vers la droite et de 4 vers le haut. Attention au sens de la soustraction. C'est toujours extrémité − origine (B − A).

Le vecteur →BA, lui, a pour coordonnées (xA − xB ; yA − yB) = (1 − 4 ; 2 − 6) = (−3 ; −4) : les coordonnées opposées, ce qui traduit le sens opposé. Addition de deux vecteurs. On additionne deux vecteurs en additionnant leurs coordonnées, coordonnée par coordonnée.

Si →u (3 ; 4) et →v (1 ; −2), alors →u + →v (3 + 1 ; 4 + (−2)) = (4 ; 2). Attention aux signes : 4 + (−2) = 2 (et non 6). C'est la traduction en calcul de la somme vue avec Chasles et le parallélogramme.

Égalité de deux vecteurs. Deux vecteurs sont ÉGAUX si et seulement s'ils ont les MÊMES coordonnées. C'est très pratique : pour vérifier →AB = →CD, il suffit de calculer leurs coordonnées et de comparer.

Méthode — calculer les coordonnées de →AB. (1) Repérer A (origine) et B (extrémité). (2) Faire xB − xA pour la première coordonnée, yB − yA pour la seconde. (3) Écrire →AB (xB − xA ; yB − yA). Points de vigilance. (1) Extrémité moins origine (B − A), jamais l'inverse. (2) Dans une addition, respecter les signes (4 + (−2) = 2). (3) Ne pas confondre les coordonnées d'un point (une position) et celles d'un vecteur (un déplacement). À retenir : →AB (xB − xA ; yB − yA) ; on additionne deux vecteurs coordonnée par coordonnée ; égalité ⟺ mêmes coordonnées.

Les erreurs fréquentes

On soustrait dans le mauvais sens : →AB (xA − xB ; yA − yB).

Les coordonnées de →AB sont extrémité MOINS origine : (xB − xA ; yB − yA). Pour A(1 ; 2) et B(4 ; 6), →AB (4 − 1 ; 6 − 2) = (3 ; 4). L'ordre inverse donnerait →BA (−3 ; −4), le vecteur opposé.

En additionnant, on oublie le signe de la deuxième coordonnée : (3 ; 4) + (1 ; −2) = (4 ; 6).

On additionne coordonnée par coordonnée, en respectant les signes : (3 + 1 ; 4 + (−2)) = (4 ; 2). Ajouter −2 revient à retrancher 2 : 4 + (−2) = 2, pas 6.

On confond les coordonnées d'un point et celles d'un vecteur (on prend B(4 ; 6) comme coordonnées de →AB).

Les coordonnées d'un POINT donnent une position ; celles d'un VECTEUR donnent un déplacement. →AB n'est pas B : →AB (xB − xA ; yB − yA) = (3 ; 4), pas (4 ; 6). Il faut toujours faire la soustraction extrémité − origine.

Tu maîtrises la notion si…

• Déterminer les coordonnées d'un vecteur →AB (xB − xA ; yB − yA), par exemple A(1 ; 2), B(4 ; 6) donne →AB (3 ; 4).
• Additionner deux vecteurs en additionnant leurs coordonnées, en respectant les signes ((3 ; 4) + (1 ; −2) = (4 ; 2)).
• Reconnaître que deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.

Vérifie que tu as compris

1. Dans un repère, A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Quelles sont les coordonnées du vecteur →AB ?

   Réponse (3 ; 4)

   Les coordonnées de →AB sont (xB − xA ; yB − yA) = (4 − 1 ; 6 − 2) = (3 ; 4). On soustrait les coordonnées de l'origine A à celles de l'extrémité B. (−3 ; −4) serait →BA (sens opposé).

2. Deux vecteurs ont pour coordonnées (3 ; 4) et (1 ; −2). Quelles sont les coordonnées de leur somme ?

   Réponse (4 ; 2)

   On additionne deux vecteurs en additionnant leurs coordonnées : (3 + 1 ; 4 + (−2)) = (4 ; 2). Attention au signe de la deuxième coordonnée : 4 + (−2) = 2, pas 6. Deux vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnées.

3. Comment obtient-on les coordonnées de la somme de deux vecteurs ?

   Réponse on additionne les abscisses entre elles et les ordonnées entre elles

   Si un vecteur a pour coordonnées (x ; y) et un autre (x' ; y'), alors leur somme a pour coordonnées (x + x' ; y + y'). On additionne colonne par colonne : abscisse avec abscisse, ordonnée avec ordonnée. Le résultat est un vecteur, pas un nombre.