Construire la somme : la règle du parallélogramme

L'essentiel

La relation de Chasles additionne deux vecteurs qui s'enchaînent (→AB + →BC). Mais très souvent, les deux vecteurs à additionner partent du MÊME point : →AB + →AD (les deux commencent en A). Ils ne se suivent pas bout à bout, donc on ne peut pas appliquer Chasles directement.

On utilise alors la RÈGLE DU PARALLÉLOGRAMME. Voici l'idée : on a deux flèches →AB et →AD qui partent de A. On complète la figure pour en faire un PARALLÉLOGRAMME ABCD (on ajoute le quatrième sommet C, de sorte que [BC] soit parallèle à [AD] et [DC] parallèle à [AB]). La somme des deux vecteurs est alors la DIAGONALE issue de A : →AB + →AD = →AC.

Autrement dit, on « ferme » le parallélogramme et la diagonale qui part de A donne la somme. Pourquoi ça marche ? Parce que c'est en réalité Chasles déguisé.

Dans le parallélogramme ABCD, le côté [AD] et le côté [BC] sont parallèles et de même longueur, dans le même sens : donc →AD = →BC. On peut alors remplacer : →AB + →AD = →AB + →BC, et par Chasles →AB + →BC = →AC. On retombe bien sur la diagonale →AC.

Les deux méthodes — mettre les vecteurs bout à bout (Chasles) ou compléter le parallélogramme — donnent toujours le même résultat. La règle du parallélogramme est simplement la façon commode de faire quand les deux vecteurs partent du même point.

Comprendre

La règle du parallélogramme construit la somme de deux vecteurs de MÊME origine. Situation : →AB + →AD avec A origine commune ; les vecteurs ne s'enchaînent pas, donc Chasles ne s'applique pas directement. Méthode : on complète le parallélogramme ABCD (quatrième sommet C tel que [BC] ∥ [AD] et [DC] ∥ [AB]) ; la somme est la diagonale issue de A : →AB + →AD = →AC.

Justification (cohérence avec Chasles) : dans le parallélogramme ABCD, [AD] et [BC] sont parallèles, de même longueur et de même sens, donc →AD = →BC ; en substituant, →AB + →AD = →AB + →BC = →AC (Chasles). Les deux constructions — bout à bout et parallélogramme — donnent le même vecteur somme. Points clés : bien identifier le quatrième sommet C (celui opposé à A) ; la somme est la diagonale [AC], pas la diagonale [BD].

Erreurs classiques : prendre la mauvaise diagonale (→BD au lieu de →AC) ; se tromper de sommet en complétant le parallélogramme ; croire qu'on additionne les longueurs. Ce concept prolonge la somme et Chasles (VTR_3E_003) et prépare le calcul par coordonnées (VTR_3E_005), où l'addition se fera simplement coordonnée par coordonnée.

Le cours

CONSTRUIRE LA SOMME : LA RÈGLE DU PARALLÉLOGRAMME. Le problème. La relation de Chasles additionne deux vecteurs qui s'enchaînent : →AB + →BC = →AC.

Mais souvent les deux vecteurs à additionner partent du MÊME point : →AB + →AD (origine commune A). Ils ne se suivent pas bout à bout, donc Chasles ne s'applique pas tel quel. La règle du parallélogramme.

Pour additionner →AB + →AD (même origine A) : (1) on trace les deux vecteurs à partir de A ; (2) on complète le PARALLÉLOGRAMME ABCD, c'est-à-dire on place le quatrième sommet C de sorte que ABCD soit un parallélogramme (côté [BC] parallèle et égal à [AD], côté [DC] parallèle et égal à [AB]) ; (3) la somme est la DIAGONALE issue de A : →AB + →AD = →AC. On « ferme » le parallélogramme, et la diagonale partant de A est la somme cherchée. Pourquoi cela marche (lien avec Chasles).

Dans le parallélogramme ABCD, les côtés [AD] et [BC] sont parallèles, de même longueur et parcourus dans le même sens : donc →AD = →BC. On remplace dans la somme : →AB + →AD = →AB + →BC. Or, par la relation de Chasles, →AB + →BC = →AC.

Donc →AB + →AD = →AC : on retrouve bien la diagonale. La règle du parallélogramme n'est donc rien d'autre que Chasles, appliqué après avoir remarqué →AD = →BC. Deux méthodes, un seul résultat.

Que l'on mette les vecteurs bout à bout (Chasles) ou que l'on complète le parallélogramme, on obtient toujours le même vecteur somme →AC. On choisit la méthode la plus commode selon la figure : bout à bout si les vecteurs s'enchaînent déjà, parallélogramme s'ils partent du même point. Méthode — additionner →AB + →AD. (1) Vérifier qu'ils ont la même origine A. (2) Compléter le parallélogramme ABCD (placer C). (3) Tracer la diagonale [AC] : →AB + →AD = →AC.

Points de vigilance. (1) La somme est la diagonale issue de A ([AC]), pas l'autre diagonale ([BD]). (2) Bien placer le quatrième sommet C (opposé à A dans le parallélogramme). (3) La somme est un vecteur, pas une addition de longueurs. À retenir : →AB + →AD = →AC en complétant le parallélogramme ABCD (diagonale issue de A) ; c'est cohérent avec Chasles car →AD = →BC.

Les erreurs fréquentes

On prend la mauvaise diagonale : on écrit →AB + →AD = →BD.

La somme est la diagonale issue de A : →AB + →AD = →AC (dans le parallélogramme ABCD). La diagonale [BD] relie les deux extrémités B et D, ce n'est pas la somme. On part toujours de l'origine commune A.

On essaie d'appliquer Chasles directement à →AB + →AD sans transformation.

→AB et →AD partent du même point A : ils ne s'enchaînent pas, Chasles ne s'applique pas tel quel. On complète le parallélogramme ABCD ; comme →AD = →BC, on a →AB + →AD = →AB + →BC = →AC.

On place mal le quatrième sommet C en complétant le parallélogramme.

C est le sommet OPPOSÉ à A : il faut [BC] parallèle et égal à [AD], et [DC] parallèle et égal à [AB]. Autrement dit →BC = →AD (et →DC = →AB). La diagonale [AC] donne alors la somme.

Tu maîtrises la notion si…

• Reconnaître qu'on additionne deux vecteurs de même origine (→AB + →AD) avec la règle du parallélogramme, pas avec Chasles directement.
• Construire la somme →AB + →AD = →AC en complétant le parallélogramme ABCD (diagonale issue de A).
• Justifier la règle par Chasles : dans ABCD, →AD = →BC, donc →AB + →AD = →AB + →BC = →AC.

Vérifie que tu as compris

1. Pour additionner deux vecteurs de même origine →AB + →AD, quelle construction utilise-t-on ?

   Réponse la règle du parallélogramme : →AB + →AD = →AC (diagonale issue de A)

   Comme →AB et →AD partent du même point A, ils ne s'enchaînent pas : on ne peut pas appliquer Chasles directement. On complète le parallélogramme ABCD ; la somme est alors la diagonale issue de A : →AB + →AD = →AC.

2. Dans le parallélogramme ABCD, pourquoi la règle du parallélogramme (→AB + →AD = →AC) est-elle cohérente avec la relation de Chasles ?

   Réponse car →AD = →BC, donc →AB + →AD = →AB + →BC = →AC

   Dans le parallélogramme ABCD, les côtés [AD] et [BC] sont parallèles et de même longueur, donc →AD = →BC. On remplace : →AB + →AD = →AB + →BC, et par Chasles →AB + →BC = →AC. Les deux méthodes donnent bien →AC.

3. Dans le parallélogramme MNPQ, que vaut →MN + →MQ ?

   Réponse →MP

   →MN et →MQ partent du même sommet M du parallélogramme MNPQ : leur somme est la diagonale issue de M, soit →MP. On le vérifie par Chasles : →MQ = →NP (côtés opposés), donc →MN + →MQ = →MN + →NP = →MP. Le vecteur →NQ porte l'autre diagonale, il ne convient pas.