Simplifier une fraction

En une phrase

Simplifier une fraction, c'est diviser le haut et le bas par le même nombre. La fraction garde la même valeur mais s'écrit avec des nombres plus petits. Par exemple 8/12 : on divise par 4 en haut et en bas, ce qui donne 2/3. Quand plus aucun nombre ne divise les deux, la fraction est irréductible.

Comprendre

Une fraction peut s'écrire de plusieurs façons pour la même valeur : 8/12, 4/6 et 2/3 sont égales. Simplifier une fraction consiste à diviser son numérateur ET son dénominateur par un même diviseur (un facteur commun). On répète jusqu'à ce qu'il n'existe plus de diviseur commun autre que 1 : la fraction est alors irréductible.

Exemple : 8/12. Le nombre 4 divise 8 (8 ÷ 4 = 2) et 12 (12 ÷ 4 = 3), donc 8/12 = 2/3, qui est irréductible. Ce mécanisme est très utile pour les produits : on peut simplifier AVANT de multiplier, ce qui évite de manipuler de grands nombres. Pour (3/4) × (8/9), on peut simplifier en diagonale (un numérateur avec le dénominateur de l'autre fraction) : 4 (au dénominateur) et 8 (au numérateur) se divisent par 4 → 1 et 2 ; 3 (au numérateur) et 9 (au dénominateur) se divisent par 3 → 1 et 3. Il reste (1 × 2)/(1 × 3) = 2/3. On aurait aussi pu multiplier d'abord : (3 × 8)/(4 × 9) = 24/36, puis simplifier 24/36 par 12 pour obtenir 2/3. Les deux méthodes donnent la même fraction irréductible.

Attention : on ne divise jamais seulement le haut ou seulement le bas — il faut diviser les deux par le même nombre, sinon la valeur change.

Le cours

Deux fractions peuvent représenter le même nombre : elles sont dites égales. On passe de l'une à l'autre en multipliant, ou en divisant, le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. Simplifier une fraction, c'est diviser son numérateur et son dénominateur par un même diviseur commun afin d'obtenir une écriture plus simple ; lorsqu'il n'existe plus de diviseur commun autre que 1, la fraction est irréductible.

Exemple : 8/12 = 2/3 en divisant par 4 (8 ÷ 4 = 2, 12 ÷ 4 = 3). Simplifier est particulièrement pratique pour un produit : on peut simplifier avant de multiplier. Pour (3/4) × (8/9) : le 8 du numérateur et le 4 du dénominateur se simplifient par 4 (→ 2 et 1) ; le 3 du numérateur et le 9 du dénominateur se simplifient par 3 (→ 1 et 3).

Il reste (1 × 2)/(1 × 3) = 2/3. On peut aussi calculer (3 × 8)/(4 × 9) = 24/36 puis simplifier par 12 : 24 ÷ 12 = 2 et 36 ÷ 12 = 3, d'où 2/3. Le résultat irréductible est le même. Il faut toujours diviser le haut ET le bas par le même nombre : diviser un seul des deux modifierait la valeur de la fraction. Donner un résultat sous forme irréductible est une exigence de présentation en 4e.

Les erreurs fréquentes

On divise seulement le numérateur (ou seulement le dénominateur) : 8/12 = 2/12.

Il faut diviser le haut ET le bas par le même nombre : 8 ÷ 4 = 2 et 12 ÷ 4 = 3, donc 8/12 = 2/3.

On laisse le résultat non simplifié : (3/4) × (8/9) = 24/36 est présenté comme réponse finale.

On simplifie jusqu'à l'irréductible : 24/36 = 2/3 (en divisant par 12).

Tu maîtrises la notion si…

• Simplifier une fraction en divisant numérateur et dénominateur par un même diviseur (ex. 8/12 = 2/3).
• Reconnaître qu'une fraction est irréductible quand aucun diviseur commun autre que 1 ne subsiste.
• Simplifier un produit de fractions avant ou après le calcul, comme (3/4) × (8/9) = 2/3.

Vérifie que tu as compris

1. Quelle est l'écriture de 8/12 simplifiée au maximum ?

   Réponse 2/3

   On divise le numérateur et le dénominateur par leur diviseur commun 4 : 8 ÷ 4 = 2 et 12 ÷ 4 = 3, d'où 2/3.

2. Combien font (3/4) × (8/9), simplifié au maximum ?

   Réponse 2/3

   (3 × 8)/(4 × 9) = 24/36 ; on simplifie par 12 : 24 ÷ 12 = 2 et 36 ÷ 12 = 3, d'où 2/3.

3. Le produit (4/9) × (3/8) vaut 12/72. Simplifié au maximum, il vaut :

   Réponse 1/6

   12 et 72 ont 12 comme diviseur commun : 12 ÷ 12 = 1 et 72 ÷ 12 = 6, d'où 1/6. On aurait pu simplifier avant de multiplier : dans (4 × 3)/(9 × 8), le 4 se simplifie avec le 8 et le 3 avec le 9.