Multiplier deux fractions

En une phrase

Multiplier deux fractions, c'est très simple : tu multiplies les nombres du haut (numérateurs) ensemble, et les nombres du bas (dénominateurs) ensemble. Par exemple (2/3) × (4/5) = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15. Si l'une des fractions est négative, le résultat suit la règle des signes.

Comprendre

Le produit de deux fractions se calcule directement : le numérateur du résultat est le produit des numérateurs, le dénominateur du résultat est le produit des dénominateurs. Autrement dit, (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d). Contrairement à l'addition de fractions, il n'y a PAS besoin de mettre au même dénominateur : on multiplie « en ligne », haut avec haut et bas avec bas.

Exemple : (2/3) × (4/5) = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15. La règle des signes des relatifs reste valable : si les deux fractions sont de même signe, le produit est positif ; si elles sont de signes différents, il est négatif. Ainsi (−2/3) × (4/5) = −8/15 (signes différents → négatif ; 2 × 4 = 8, 3 × 5 = 15). Une erreur fréquente est de vouloir un dénominateur commun comme pour l'addition : c'est inutile ici.

Une autre est de multiplier le haut par le bas « en croix » : on ne croise pas, on aligne. Le résultat peut souvent être simplifié pour obtenir une fraction irréductible, ce qui sera l'étape suivante.

Le cours

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux pour obtenir le numérateur du résultat, et les dénominateurs entre eux pour obtenir le dénominateur du résultat : (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d). Il n'est pas nécessaire de réduire au même dénominateur (contrairement à l'addition ou à la soustraction). Exemple : (2/3) × (4/5) = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15. La règle des signes vue avec les nombres relatifs s'applique aussi aux fractions : deux fractions de même signe donnent un produit positif, deux fractions de signes différents un produit négatif.

Ainsi (−2/3) × (4/5) = −8/15 : les signes sont différents, donc le résultat est négatif, et l'on calcule 8/15 pour les valeurs. Lorsqu'un nombre entier apparaît, on peut l'écrire comme une fraction de dénominateur 1 : 3 = 3/1, donc 3 × (2/5) = (3/1) × (2/5) = 6/5. Le produit obtenu n'est pas toujours irréductible : (2/4) × (3/5) = 6/20 se simplifie en 3/10. Savoir multiplier des fractions est indispensable pour la division (multiplier par l'inverse) et pour tout le calcul avec des nombres rationnels.

Les erreurs fréquentes

On cherche un dénominateur commun avant de multiplier, comme pour l'addition.

Pour un produit, aucun dénominateur commun n'est nécessaire : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. (2/3) × (4/5) = 8/15.

On multiplie « en croix » : (2/3) × (4/5) = (2 × 5)/(3 × 4).

On n'inverse pas : haut × haut et bas × bas. (2/3) × (4/5) = (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15.

Tu maîtrises la notion si…

• Énoncer que multiplier deux fractions revient à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
• Calculer (2/3) × (4/5) = 8/15 sans chercher de dénominateur commun.
• Appliquer la règle des signes à un produit de fractions, comme (−2/3) × (4/5) = −8/15.

Vérifie que tu as compris

1. Combien font (2/3) × (4/5) ?

   Réponse 8/15

   On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15.

2. Combien font (−2/3) × (4/5) ?

   Réponse −8/15

   Les signes sont différents, donc le résultat est négatif ; (2 × 4)/(3 × 5) = 8/15, d'où −8/15.

3. Une élève multiplie en croix : elle écrit (3/4) × (2/5) = (3 × 5)/(4 × 2). Quel est le bon calcul ?

   Réponse (3 × 2)/(4 × 5)

   Pour un produit de fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : (3 × 2)/(4 × 5) = 6/20 = 3/10. Le produit en croix ne convient pas ici : il sert à comparer deux quotients, pas à les multiplier.